Preguntas sobre la definición de convergencia

Question

Yo estoy teniendo dificultad para la comprensión de la definición de convergencia. He estado releyendo y ejemplos durante la semana pasada y no he hecho ningún progreso.

Definición: decimos que {${a_{n}}$} converge a un punto de $a \in \mathbb{R}$ si por cualquier $\epsilon$, existe un entero positivo $N$ tal que para cualquier $n \in \mathbb{N}$$n\geq N$, uno ha $|a_{n}-a|< \epsilon$.

Mis preguntas:

(1) ¿Cuál es el papel de la $\epsilon$ jugar? Es que el límite real? Pensé que $a$ es lo que somos "suponiendo" es el límite?

(2) ¿por Qué $n \geq N$? Yo estoy pidiendo esto debido a que se acaba de dar la definición de lo que significa ser convergente (en el Análisis Real, no la secuencia de Cálculo), no hay ninguna prueba formal.

(3) En varios ejemplos que están tratando de establecer $N$ ser menor o igual a $\epsilon$. Por qué?

Mi problema principal es que no entiendo cómo los componentes de esta definición de trabajo. Me pueden seguir los ejemplos, pero prefiero entender por qué funciona, a continuación, sólo se toma en la fe ciega.

Gracias por el aporte y sugerencias.

Answer 1

El límite es de $a$, no $\varepsilon$.

El punto es que uno puede hacer $a_n$ cerca de $a$ como se desee, haciendo $n$ lo suficientemente grande. El valor absoluto $|a_n-a|$ es la distancia entre el$a_n$$a$.

Cómo de grande es lo suficientemente grande depende de lo cerca que quieren hacer $a_n$$a$.

Por lo $\varepsilon$ es la forma de cerrar desea hacer la $a_n$$a$, e $N$ es lo grande que usted necesita para hacer $n$, es decir, mientras $n$ $N$ o más, a continuación, $a_n$ es lo suficientemente cerca como para $a$.

La definición dice que no importa cuán pequeño $\varepsilon$ obtiene (siempre es positivo), $N$ puede ser hecha todavía lo suficientemente grande.

La sugerencia de que $N$ se hace igual a $\varepsilon$ es tonta, y me pregunto si estuviera leyendo algo sobre el límite de una función real de una variable, en lugar de sobre el límite de una secuencia. Generalmente, $N$ va a ser algo que depende de $\varepsilon$ y se hacen más grandes como $\varepsilon$ se hace más pequeño.

Answer 2

La idea de la convergencia de una secuencia $\{a_n\}$ es más o menos el siguiente:

decimos que $a_n$ converge a $a$ si $n$ muy muy grande, $a_n$ es muy muy cerca de a $a$.

¿Cómo podemos traducir esto en matemáticas?

Utilizamos $\epsilon$ a decir "¿cómo cerrar" a $a$ queremos ser, y $N$ a decir "¿qué tan lejos" en la secuencia tenemos que ir a la estancia que cerrar.

Por lo $\epsilon$ es para ser pensado para ser un número muy pequeño, y $N$ un número muy grande. Tratamos de leer la definición de nuevo:

Para cada $\epsilon$ (en particular para cada $\epsilon$ muy pequeño), existe un $N$ (probablemente muy grande) tal que, si el índice de $n$ de la secuencia es mayor que $N$, entonces la distancia entre el $n$-ésimo término de $a_n$ $a$ es de menos de $\epsilon$.

Para responder a tus preguntas:

(1) El límite es de $a$.

(2) Nos dice $n > N$ debido a la convergencia sólo se preocupa de lo que ocurre para los grandes índices, donde los grandes determinado por este parámetro $N$, dependiendo $\epsilon$.

(3) por lo general en los ejemplos, dado un genérico $\epsilon$, tratamos de determinar $N$ (como una función de la $\epsilon$) de forma tal que la desigualdad de $\vert a_n - a\vert < \epsilon$ es válido para cada $n > N$. Pero $\epsilon$ $N$ viven en dos mundos diferentes: $\epsilon$ vive en el mundo de los valores de la secuencia, $N$ vive en el mundo de los índices de la secuencia.