Por favor, trate de evitar saltar directamente la prueba, el texto antes de que sea crucial a mi pregunta así.
Tuve una prueba de esto aquí, pero me he dado cuenta de que la prueba es circular ya que yo implícita el resultado en todos los $3$ lemas. También creo que el revestimiento dado en un comentario a esa pregunta ($e_1=e_1+e_2=e_2$) también se basa en algunos supuestos que no se dan en el texto. Así que me permiten escribir exactamente lo que está dado, exactamente como está escrito en el texto (Apostol "Análisis Matemático"):
Definición de la suma y de la multiplicación:
Junto con el conjunto R de los números reales, podemos suponer que la existencia de dos operaciones, llamadas adición y multiplicación, tal que para cada par de números reales $x$ $y$ la suma de $x+y$ y el producto $xy$ son números reales que cumplen los siguientes axiomas. (En los axiomas que appeat a continuación, $x, y, z$ representan arbitraria de números reales, a menos que algo se dice lo contrario)
Axioma 1: Conmutativas Leyes
$x+y=y+x$, $xy=yx$
Axioma 2: Leyes Asociativas
$x+(y+z)=(x+y)+z$, $x(yz)=(xy)z$
Axioma 3: Ley Distributiva
$x(y+z)=xy+yz$
Axioma 4:
Dados cualesquiera dos números reales $x$$y$, existe un número real $z$ tal que $x+z=y$. Esta $z$ se denota por a $y-x$; el número de $x-x$ se denota por a $0$ (se puede demostrar que $0$ es independiente de $x$.) Escribimos $-x$ $0-x$ y llame a $-x$ la negativa de $x$.
Por Favor Nota:
Voy a indicar el número de $x-x$$0_x$$y-y$$0_y$. No se nos dan $x + 0 = x$ o $x + (-x) = 0$ en el sentido general (que implicaría una pieza de información que no se da en el texto acerca de la $0$). Lo que quiero decir con eso es que nos están dado que el $x + (x-x)=x$, pero no se nos dan ese $x+(y-y)=x$. Y nos son dadas $x + ((x-x)-x) = x-x$, pero no se nos dan $x + ((y-y)-x) = x-x$. La única pieza de información que tenemos acerca de $0$ es que es el símbolo que indica el $x-x$, el número que cuando se agrega a $x$ resultados en $x$.
Antes de empezar la prueba real, quiero hacer otra nota; la manera en que yo entiendo, la "singularidad de $0$" puede tener al menos $2$ diferentes significados:
$1)$ El número de $0_x$ que satisface $x + 0_x = x$ es único
$2)$ El número de $0_x$ es lo mismo que $0_y$
Creo que el primer significado de la unicidad se sigue de la definición de $z$ en axioma $4$, ya que la formulación del axioma $4$ parece implicar que $z$ en axioma $4$ es único (por favor, hágamelo saber si estoy en lo correcto/incorrecto). También, se que no están dadas $y-x=y+(-x)$; $y-x$ es sólo un símbolo para el número de $z$ en axioma $4$.
Así que ahora estoy tratando de demostrar que el segundo significado de la singularidad (esta prueba es similar a la de los vinculados pregunta, sólo esperemos que witouth circular supuestos):
Lema: Si $x+z=y+z$, $x=y$
Deje $x=y$
Agregar $z$ a ambos lados
$x+z=y+z$.
Por lo tanto, si $x+z=y+z$, $x=y$
Creo que la prueba de este lema es correcta sólo si asumimos que la adición es una operación que asigna dos números reales a un único número real. Esta es una suposición razonable hacer a partir de la definición de la suma dada de arriba? Es allí una manera de probar este lema sin esta suposición?
La prueba de que $0_x=0_y$
Tan sólo un repaso sobre la definición, $0_x=x-x$ $0_y=y-y$
$x + 0_x = x$
$y + 0_y = y$
Por el axioma $4$, tenemos la garantía de que existe un (único?) $z$ tal que $x + z = y$, de modo que reemplazará$y$$x + z$.
$x +z + 0_y = x+z$
Por asociativas y conmutativas leyes,
$(x + 0_y)+z = (x)+z$
Por el lema,
$(x + 0_y) = (x)$
pero
$(x + 0_x) = (x)$
Y si el significado de número de $1$ de singularidad dada es verdadera, entonces $0_x = 0_y$
