¿Es $\mathbb{C}[[x]] \simeq \mathbb{C}[x]_{(x)}$?

Question

Sea $\mathbb{C}[x]$ el anillo de polinomios y $\mathbb{C}[[x]]$ las series de potencias formales. ¿Es $\mathbb{C}[[x]] \simeq \mathbb{C}[x]_{(x)}$? ¿Es verdad? ¿Existe una interpretación geométrica de este isomorfismo?

Se tiene que $\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[x]_{(x)})=\{(0),(x)\}=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[[x]])$. De hecho, $\mathbb{C}[[x]]$ es un dominio integral y sus ideales son $(x^n)$.

Answer 1

Los campos de cociente tienen diferentes grados de trascendencia sobre $\mathbb{C}$, que es el campo más grande contenido en cada uno, por lo que no son anillos isomorfos.

$\mathbb{C}[x]_{(x)}$ es el anillo de funciones racionales que están definidas (es decir, no tienen un polo) en $0$.

$\mathbb{C}[[x]]$ es el anillo de series de potencias centradas en $0$, y es un anillo estrictamente más grande. Este anillo incluye todas las funciones meromorfas (y por lo tanto todas las funciones racionales) definidas en $0$, así como muchas más series de potencias que no convergen. Como Thomas indicó en los comentarios, esta es la completación de $\mathbb{C}[x]_{(x)}$ en su ideal maximal único, también es la completación de $\mathbb{C}[x]$ en el mismo ideal.

El hecho de que tengan el mismo $\operatorname{spec}$ indica que ambos son anillos de funciones en el mismo espacio subyacente (definido en $0$, y no estallando en el punto genérico $\mathbb{C$}), pero el último anillo admite una gama más amplia de funciones en este espacio.

Answer 2

Si dos dominios enteros son isomorfos, entonces sus campos de fracción también son isomorfos. En nuestro caso esto significa que $\mathbb C(X)\simeq\mathbb C((X))$, y esto no es cierto ya que el grado de trascendencia de $\mathbb C(X)$ sobre $\mathbb C$ es $1$, mientras que el grado de trascendencia de $\mathbb C((X))$ sobre $\mathbb C$ es infinito.

Answer 3

Si uno solo está interesado en si son isomorfos como $\mathbb{C}$-álgebras, entonces se puede resolver por el grado trascendente sobre $\mathbb{C}$, ya que el grado trascendente de $\mathbb{C}((X))$ sobre $\mathbb{C}$ es infinito no numerable.

Si además uno está interesado en si los dos anillos son isomorfos como anillos, la respuesta sigue siendo no. Una forma de demostrarlo es usando el mapa de valoración. Supongamos que de otra manera hay un isomorfismo de anillos $\alpha:\mathbb{C}[X]_{(X)}\rightarrow \mathbb{C}[[X]]$. Entonces $\alpha(X)$ es de la forma $XF$ donde $F\in \mathbb{C}[[X]]$ y $F(0)\neq 0$ al considerar la valoración. Luego, después de componerlo con otro anillo-isomorfismo $\beta:\mathbb{C}[[X]]\rightarrow \mathbb{C}[[X]]$ que mapea $XF$ a $X$, podríamos obtener un isomorfismo de anillos $\beta \alpha:\mathbb{C}[X]_{(X)} \rightarrow \mathbb{C}[[X]]$ que mapea $X$ a $X$. Por lo tanto, este isomorfismo mapea $X+1$ a $X+1$, lo cual es una contradicción ya que $X+1$ no es un cuadrado en el anillo $\mathbb{C}[X]_{(X)}$ ¡pero sí lo es en el anillo $\mathbb{C}[[X]]!

Más generalmente, estos dos anillos no son isomorfos para ningún campo $k$. El argumento anterior sigue siendo válido en caso de característica $0$. En caso de característica $p$, solo necesitamos cambiar "el cuadrado" a la "$q$-ésima potencia" donde $q$ es un número primo diferente de $p.