Espacios compactos Hausdorff con pre-calibre $ \aleph_1 $ tiene un calibre $ \aleph_1 $

Question

Recordemos que un espacio topológico tiene $ \aleph_1 $ pre-calibre (resp. calibre) si se le da cualquier familia de conjuntos abiertos $\{U_ \alpha\ }_{ \alpha < \omega_1 }$ existe un conjunto incontable $B \subset\omega_1 $ de tal manera que la subfamilia $\{U_ \alpha\ }_{ \alpha\in B}$ tiene la propiedad de intersección finita (resp. $ \bigcap_ { \alpha\in B} U_ \alpha\neq\emptyset $ ).

Estaba tratando de probar que un espacio compacto de Hausdorff tiene $ \aleph_1 $ pre-calibre si y sólo si tiene $ \aleph_1 $ calibre. En este sentido, construiría una subfamilia de conjuntos cerrados con el FIP dentro de la familia $\{U_ \alpha\ }_{ \alpha\in B}$ y luego usando la compactación asegurar que $ \bigcap_ { \alpha\in B} U_ \alpha\neq\emptyset $ . Probablemente usando la normalidad del espacio $X$ podemos construir esa subfamilia pero no estoy seguro.

¿Alguien puede ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

Deje que $F=\{U_ \alpha : \alpha\in \omega_1\ }$ ser una familia abierta con $ \varnothing\not \in F$ . Para $ \alpha\in \omega_1 ,$ deja $V_ \alpha $ ser abierto con $ \varnothing\ne V_ \alpha\subset \overline {V_ \alpha } \subset U_ \alpha $ . Deje que $B$ ser un subconjunto incontable de $ \omega_1 $ de tal manera que $\{V_ \alpha : \alpha\in B\}$ tiene el F.I.P. Entonces $\{ \overline V_ \alpha : \alpha\in B\}$ tiene el F.I.P., así que por la compactación tenemos $ \varnothing\ne \bigcap_ { \alpha\in B} \overline {V_ \alpha } \subset \bigcap_ { \alpha\in B}U_ \alpha $ .

Answer 2

Creo que tengo una posible respuesta. Consideremos $\{U_ \alpha\ }_{ \alpha < \omega_1 }$ una incontable familia de sets abiertos. De esta familia podemos considerar una incontable subfamilia $\{U_ \alpha\ }_{ \alpha\in B}$ con el FIP debido a $X$ tiene $ \aleph_1 $ como un pre-calibre.

Ahora, dado cualquier conjunto finito $F \in [B]^{< \omega }$ Consideremos un conjunto abierto $V_F$ de tal manera que $ \overline {V_F} \subset \bigcap_ { \alpha\in F} U_ \alpha $ (esto es posible por la regularidad y por el FIP). Ahora, ya que $X$ tiene pre-calibre $ \aleph_1 $ podemos elegir entre $\{V_F\}_{F \in [B]^{< \omega }}$ en otra ocasión una familia inestable $\{V_G\}_{G \in\mathcal {G}}$ de conjuntos abiertos con el FIP de tal manera que $ \overline {V_G} \subset \bigcap_ { \alpha\in G} U_ \alpha $ para cada $G \in \mathcal {G}$ . Así que ahora basta con considerar como una subfamilia de nuestra familia inicial $\{U_ \alpha\ }_{ \alpha < \omega_1 }$ la colección $\{U_ \alpha\ }_{ \alpha\in \mathcal {A}}$ donde $ \mathcal {A}$ es $ \bigcup \mathcal {G}$ porque $$ \emptyset \neq \bigcap_ {G \in\mathcal {G}} \overline {V_G} \subset \bigcap_ { \alpha\in\mathcal {A}} U_ \alpha $$ por la compactación.