Subgrupo apropiado incontable denso de $(\mathbb{R},+)$

Question

Probablemente alguien había hecho esta pregunta en StackExchange, pero puede uno construir un subgrupo apropiado incontable denso de $(\mathbb{R},+)$?

Answer 1

Citando una respuesta de François Dorais de Mathoverflow:

Esta respuesta anterior mía muestra cómo obtener un subconjunto de #%-independiente de incontables $\mathbb{Q}$% #% en ZF. Este conjunto no es una base de Hamel para que $\mathbb{R}$-de este sistema es como sea necesario.

Answer 2

Esta es una de "Un curso de matemáticas puras" de Hardy:

$\displaystyle \{x \in \mathbb{R}: \lim_{n \to \infty} \sin(n! \pi x) = 0\}$.