Solución al $a\cdot e^{bx} - cx = d$

Question

Similar a la pregunta: $e^x + x = 5$ $x$ sin usar un método numérico de problemas?

¿Cómo puedo obtener una solución de $a\cdot e^{bx} - cx = d$, donde un, b, c, d son constantes? ¿Hay alguna manera puedo conseguirlo en términos de la función W de Lambert?

Gracias,

Mike

Answer 1

Escriba $y=(b/c)(cx+d)$ a $(b/c) \cdot a e^{bx}= y$. Nota $bx=y-bd/c$, así que esto es $(ab/c)e^{y-bd/c}=y$ y luego multiplicar por $-e^{-y}$ a $-(ab/c) e^{-bd/c} = -ye^{-y}$. Esto quiere decir $-y=W(-\frac{ab}{c} e^{-bd/c})$, por lo que

$$x=-\frac{d}{c}-\frac{1}{b}W\left(-\frac{ab}{c}e^{-bd/c}\right).$$

Answer 2

No necesita asumir $a = 1$. Una solución es\begin{align} x = - \frac{bd + c \ W(-\frac{ab}{c}e^{-bd/c})}{bc}, \end align {} $W$ Dónde está la función de Lambert $W$. Esto puede demostrarse con la identidad funcional de $W(z) e^{W(z)} = z$.

Answer 3

Puede asumir $a=1$. Wolfram Alpha da la respuesta en términos de la función de Lambert $W$.