Evaluación $\int_a^b \frac12 r^2\ \mathrm d\theta$ para encontrar el área de una elipse

Question

Estoy hallar el área de una elipse dada por $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$. Sé que la respuesta debería ser $\pi ab$ (por ejemplo, por el Verde del teorema). Ya podemos parametrizar la elipse como $\vec{r}(\theta) = (a\cos{\theta}, b\sin{\theta})$, podemos escribir la ecuación polar de la elipse como $r = \sqrt{a^2 \cos^2{\theta}+ b^2\sin^2{\theta}}$. Y podemos hallar el área encerrada por una curva de $r(\theta)$ mediante la integración de

$$\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac12 r^2 \ \mathrm d\theta.$$

Así que debería ser capaz de encontrar el área de la elipse por

$$\frac12 \int_0^{2\pi} a^2 \cos^2{\theta} + b^2 \sin^2{\theta} \ \mathrm d\theta$$

$$= \frac{a^2}{2} \int_0^{2\pi} \cos^2{\theta}\ \mathrm d\theta + \frac{b^2}{2} \int_0^{2\pi} \sin^2{\theta} \ \mathrm d\theta$$

$$= \frac{a^2}{4} \int_0^{2\pi} 1 + \cos{2\theta}\ \mathrm d\theta + \frac{b^2}{4} \int_0^{2\pi} 1- \cos{2\theta}\ \mathrm d\theta$$

$$= \frac{a^2 + b^2}{4} (2\pi) + \frac{a^2-b^2}{4} \underbrace{\int_0^{2\pi} \cos{2\theta} \ \mathrm d\theta}_{\text{This is $0$}}$$

$$=\pi\frac{a^2+b^2}{2}.$$

Primero de todo, este no es el área de una elipse. En segundo lugar, cuando me conecte $a=1$, $b=2$, este no es aún el de la derecha el valor de la integral, como Wolfram Alpha me dice.

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Ya hay un montón de buenas respuestas aquí, así que voy a agregar este principalmente para deslumbrar a la gente w/ mi Mathematica diagrama de creación de capacidades.

Como se señaló anteriormente,

$x(t)=a \cos (t)$

$y(t)=b \sin (t)$

¿ parametrizar una elipse, pero t es no el ángulo central. ¿ es la relación entre t y el ángulo central?:

Desde entonces y es b*Sen[t] y x es una*Cos[t], tenemos:

$\tan (\theta )=\frac{b \sin (t)}{a \cos (t)}$

o

$\tan (\theta )=\frac{b \tan (t)}{a}$

La solución para t, tenemos:

$t(\theta )=\tan ^{-1}\left(\frac{a \tan (\theta )}{b}\right)$

Ahora reajuste de parámetros utilizando theta:

$x(\theta )=a \cos (t(\theta ))$

$y(\theta )=b \sin (t(\theta ))$

que en última instancia se simplifica a:

$x(\theta)=\frac{a}{\sqrt{\frac{a^2 \tan ^2(\theta )}{b^2}+1}}$

$y(\theta)=\frac{a \tan (\theta )}{\sqrt{\frac{a^2 \tan ^2(\theta )}{b^2}+1}}$

Tenga en cuenta que, en virtud de la nueva parametrización, $y(\theta)/x(\theta) = tan(\theta)$ como se desee.

Para calcular el área, necesitamos $r^2$ $x^2+y^2$ o de:

$r(\theta )^2 = (\frac{a}{\sqrt{\frac{a^2 \tan ^2(\theta )}{b^2}+1}})^2+ (\frac{a \tan (\theta )}{\sqrt{\frac{a^2 \tan ^2(\theta )}{b^2}+1}})^2$

(tenga en cuenta que podríamos tomar la raíz cuadrada para obtener r, pero realmente no lo necesitan)

El de arriba en última instancia se simplifica a:

$r(\theta)^2 = \frac{1}{\frac{\cos ^2(\theta )}{a^2}+\frac{\sin ^2(\theta )}{b^2}}$

Ahora, podemos integrar a $r^2/2$ para encontrar el área de:

$A(\theta) = (\int_0^\theta \frac{1}{\frac{\cos ^2(x )}{a^2}+\frac{\sin ^2(x )}{b^2}} \, dx)/2$

que los rendimientos:

$A(\theta) = \frac{1}{2} a b \tan ^{-1}\left(\frac{a \tan (\theta )}{b}\right)$

bueno para $0\leq \theta <\frac{\pi }{2}$

Curiosamente, no funciona para $\theta =\frac{\pi }{2}$ así que no se puede probar el caso evidente sin necesidad de utilizar un límite:

$\lim_{\theta \a \frac{\pi }{2}} \, \frac{1}{2} b \bronceado ^{-1}\left(\frac{a \tan (\theta )}{b}\right)$

lo que nos da $a*b*Pi/4$ como se esperaba.

Answer 2

Tu pregunta ha sido contestada, así que ahora nos fijamos en cómo encontrar el área, usando su parametrización, que es perfectamente bueno.

El área es la integral de $|y\,dx|$ (o alternativamente de $|x\,dy|$. sobre el intervalo apropiado.

Tenemos $y=b\sin\theta$ y $dx=-a\sin\theta\,d\theta$. Por lo que el área es $$\int_0^{2\pi} |-ab\sin^2\theta|\,d\theta.$$ usando $\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}$, encontramos que la zona es % $ $$\int_0^{2\pi} ab\frac{1-\cos 2\theta}{2}\,d\theta.$esto es $\pi ab$.

Answer 3

SUGERENCIA:

Poner $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$

$$\frac {x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$

$$r^2=\frac{a^2b^2}{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}=b^2\frac{\sec^2\theta}{\frac{b^2}{a^2}+\tan^2\theta}$$

Answer 4

Esta es otra forma de hacerlo cuando uno sabe el área de un círculo: considerar el área de un círculo de radio 1 en coordenadas $(\xi, \eta)$ esto es:

$$ \int d\xi d \eta = \pi $$

ahora si definir nuevas coordenadas de la elipse ecuación $\xi = \frac{x}{a}, \quad \eta= \frac{y}{b}$ obtener un círculo de radio uno: $\xi^2 + \eta^2 =1$

El área de la elipse que se desea es $ \int dx dy = ab \int d\xi d\eta = \pi ab$.

Answer 5

Aquí tienes - esta persona incluso cometió su error, y alguien corrigió.

http://mathforum.org/library/drmath/View/53635.html