Lagrange Inversión de potencia de la serie para las fracciones de los exponentes?

Question

Entiendo cómo se obtiene la inversión de pecado(x) que se muestra aquí, el uso de los Lagrange de la Inversión de la Fórmula, e incluso se han escrito una secuencia de comandos de MATLAB para resolver la inversión cuando la entrada y salida de los exponentes son enteros.

Sin embargo, no veo cómo se calcula la inversión de x*sin(x) (primer enlace). El resultado de los usos de fracciones de poderes, que supongo se refiere a 1/MCD{entrada exponentes}.

¿Cómo solucionar para la inversión cuando la entrada o la salida de los exponentes pueden ser fraccional? Hay un trabajado ejemplo en algún lugar puedo usar como referencia? Al principio pensé que podría factor común x^m e ir de allí, pero no parece ser el método correcto. Me gustaría, finalmente, ser capaz de generalizar el código para manejar esos casos, pero incluso la comprensión de la teoría detrás de ella iba a ser grande en sí mismo.

Answer 1

Para invertir $y=x\sin(x):$

Tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación y poner Y = $\sqrt y \quad$ dar

$$ Y=\frac{x}{\phi(x)}\qquad \qquad (1)$$

donde $$\phi(x) =\sqrt {\frac{x}{\sin(x)}}=1+\frac{x^2}{12}+\frac{x^4}{160}+\cdots.$$

Ahora aplique el Lagrange inversión el teorema (1) para obtener $x$ como una serie de $Y$: $$x=Y+\frac{1}{12}Y^{3}+\frac{29}{1440}Y^{5}+\cdots.$$lo cual está de acuerdo con el resultado dado en el Wolfram enlace.

Por supuesto, si usted está tratando de este programa, usted necesitará un poco de secuencia de comandos para calcular la expansión de la serie de la raíz cuadrada de la función $\frac{x} {\sin(x)}.$ Alternativamente, Lagrange del teorema da los coeficientes de la serie de reversión como

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{n!} \frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}\phi(x)$$

Tal vez esta fórmula podría ser suscrito con el MATLAB.

Answer 2

$f(x)=x\sin\,x$ es una incluso de la función ($f(-x)=f(x)$), y desde $f(0)=0$, su expansión de la serie en el origen comienza con un $x^2$ plazo, a saber.

$$x\sin\,x=x^2-\frac{x^4}{6}+\frac{x^6}{120}-\frac{x^8}{5040}+\cdots$$

Por lo tanto, ser capaz de aplicar directamente Lagrange, la función que debe ser teniendo en cuenta la es $g(x)=\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$:

$$\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=1-\frac{x}{6}+\frac{x^2}{120}-\frac{x^3}{5040}+\cdots$$

donde ahora tienes una serie para que la inversión debe ser fácil de aplicar. Desde $f(x)=x^2 g(x^2)$, se puede transformar la inversa de la serie para $g$ en el inverso de la serie que quieras...