Le pregunté a Mathematica para evaluar $$\sum_{i=1}^{\infty} \cos(i a)\cos(i b)$ $ donde $a$ y $b$ son números verdaderos sin especificar, y me dijo la respuesta fue simplemente $-\frac{1}{2}$. Esto es claramente falso, como espero que la serie no converge para casi cualquier opción de $a,b$--pero hay cierto sentido formal en la que la respuesta de Mathematica tiene sentido?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hagamos que imprudente:
$$\begin{align} \sum_{k=1}^\infty \cos (kx) &= \frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^\infty e^{ikx} + \sum_{k=1}^\infty e^{-ikx}\right)\\ &= \frac{1}{2} \left(\frac{e^{ix}}{1-e^{ix}} + \frac{e^{-ix}}{1-e^{-ix}} \right)\\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{e^{ix}}{1-e^{ix}} + \frac{1}{e^{ix}-1}\right)\\ &= -\frac{1}{2}. \end {Alinee el} $$
Entonces use
$$\cos (ka) \cos (kb) = \frac{1}{2}\left(\cos \left(k(a+b)\right) + \cos \left(k(a-b)\right)\right)$$
para transformar
$$\sum_{k=1}^\infty \cos (ka)\cos (kb)$$
en sumas de la forma antedicha.
Baste decir, la serie realmente convergen en el sentido de distribuciones.
