¿Cómo mostrar $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]_2$ es una UFD?

Question

Me gustaría saber cómo mostrar $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]_2$ es una UFD.

Realmente me den sugerencias de que $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ tiene clase grupo $\mathbb{Z}/2$ y que $(1 + \sqrt{-5},2)$ no es principal, pero absolutamente no puedo encontrar cómo hacer estas sugerencias. ¡Gracias!

Answer 1

Ya ha pasado un tiempo, pero creo que usted puede ser capaz de usar esta estrategia: sus dos anillos son $R=\Bbb Z[\sqrt{-5}]$ y $R'=\Bbb Z[\sqrt{-5}][1/2]$-una notación que encuentro menos ambiguo. Creo que usted debe ser capaz de mostrar el grupo de clase de los mapas de $R$ en la de $R'$, y que sin duda el ideal que usted ha mencionado, que representa un elemento distinto de cero del grupo clase de $R$, definitivamente se convierte en trivial en que $R'$.

Answer 2

Nagata del teorema dice que si tienes un Krull de dominio (en particular, un dominio de Dedekind) $R$ $S\subset R$ un conjunto multiplicativo, entonces $\operatorname{Cl}(R)\to\operatorname{Cl}(S^{-1}R)$ es surjective y su núcleo es generado por las clases de primer ideales que cumplir con $S$.
En nuestro caso la única prime que reúne $S$$P=(1 + \sqrt{-5},2)$, de modo que el núcleo se genera por la clase de $P$. Por otra parte, $P^2=(2)$, por lo que la clase de $P$ es de orden dos. Esto demuestra que la clase de $P$ no sólo genera el núcleo, sino $\operatorname{Cl}(\mathbb Z[\sqrt{-5}])$. En particular, en nuestro caso, el mapa es trivial, por lo que su imagen es cero.