Estoy leyendo "Análisis constructivo" del obispo y dice define un número real para ser que una clase de equivalencia de secuencias de Cauchy de racionales sería un error. ¿Por qué?
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El obispo se refiere aquí a un enfoque constructivo a los reales. Clásicamente, una secuencia de Cauchy de racionales es una secuencia tal que para cualquier distancia racional $\varepsilon >0$, existe un módulo de $N\in \mathbb N$ tal que a partir de ese índice en adelante, todos los elementos están en la distancia en la mayoría de las $\varepsilon $ unos de otros. Constructivamente, esto es inaceptable, ya que el módulo de $N$ tiene que ser construido a partir de la secuencia dada y el $\varepsilon >0$. En otras palabras, una de Cauchy secuencias debe ser una secuencia junto con una función de $\mathbb Q_+\to \mathbb N$ que es una función constructiva de dar un adecuado módulo para cada $\varepsilon >0$. Ahora, exactamente lo que una función constructiva de un infinito contable establece a otro significa que se pueden responder de diferentes maneras (en el constructivas mundo de estilo clásico, no hay duda de cómo continuar). Aquí es donde se pone complicado.
Avi Flax
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El obispo es el prototipo constructivista-lo que significa que no aceptan ni la construcción de las matemáticas,un procedimiento o una definición que no resulte en una clara y precisa método de dar al menos un ejemplo. Desde la definición de Cauchy es en términos de los límites de una secuencia de racionales y no explícitamente establecer un límite para el límite, el Obispo considera que es matemáticamente sospechoso.
Es realmente un filosófica problema que tiene con la definición y nada más-matemáticamente,los 2 son realmente equivalentes entre sí.Yo realmente debe señalar si son o no son equivalentes depende de qué versión del constructivismo que se está trabajando. Como Steven Stadnicki señala en su protesta-hay countably infinito", el Obispo de reales",que constituyen "clases de equivalencia" por el Obispo de la definición, donde una contables constructivo bijection algoritmo no puede ser concebido (la detención problema). Como resultado de ello, la ausencia de un mapa, el Obispo de reales son trivialmente incontables! En intuitionism-Brouwer 's versión del constructivismo-hay una diagonalización unido similar a la de Cantor que demuestra el Obispo de reales son innumerables.
Así que la verdad es que este asunto es muy sutil y pegajosa. Pero, para nuestros propósitos,sin duda sería justo decir que, lógicamente ,el Obispo de reales son innumerables. Usted realmente necesita para pedir un lógico o conjunto teórico de esta cuestión,a pesar de que-como he dicho,es sutil y la mayoría de la gente fuera de la investigación en la construcción de las matemáticas realmente lo entiendo.
