Grupos multiplicativos

Question

1. Considere la posibilidad de la multiplicación de los grupos de $\def\R{{\mathbb R}}(\R^\ast,\cdot)$$(\R^+, \cdot)$. Mostrar que $\R^\ast \cong\R^+\times\Bbb Z_2$.
2. Considerar el grupo multiplicativo $\def\Q{{\mathbb Q}}(\Q^+,\cdot)$. Lista de los elementos del subgrupo cíclico $H=\langle4\rangle$. Es $H$ normal? Lista de los elementos de la cosets $\frac13H$$2H$. Describir el cociente $\Q^+/H$ mediante la selección de un representante para cada uno de coset de $H$. En el cociente $\Q^+/H$, ¿cuál es el orden de $\frac13H$? ¿Cuál es el orden de $2H$? ¿Qué es $(2H)\Bigl(\frac23H\Bigr)$?

Para $(1)$, pensé que si $a$$\mathbb{R}^*$, entonces podemos encontrar la función de $F$ tal que $F(a) = a \times 1$ si $a>0$, y $F(a) = -a \times 0$ si $a<0$. Tal vez esta función se muestra que son isomorfos? Esto es correcto?

Para$(2)$, ¿a $H=\langle 4\rangle$ es cíclico subgrupo? Es$H$$\mathbb{Q}*$, ya que si $a$$\mathbb{Q}*$, siempre podemos encontrar $\frac14a$ $\mathbb{Q}*$ o es $H$ $\{4,8,12,16,\dots\}$ o $\{\dots,-8,-4,0,4,8.12,\dots\}$ ? No estoy seguro de lo $H$ es.

Para describir el cociente $Q^+$/H, tal vez es un conjunto de aH que tal $0 < a\leq 1$ y

$a= \dfrac{x}{y}$ tales que x y y son enteros y $gcd(x,y) = 1$.

Gracias!

(Imagen Original de preguntas: http://i.stack.imgur.com/wRRUJ.png)

Answer 1

Sí, la primera de ellas es correcta. De hecho, usando el mapa $a\to |a|$ sería eficaz aquí. Hay otro punto que quisiera destacar en la primera de ellas. Es decir, si ponemos $U=\{z\in\mathbb C\mid |z|=1\}$ tenemos también %#% $ #%

Answer 2

Para $(1)$, todo lo que usted necesita hacer es comprobar el mapa en el que se define es en realidad un isomorfismo (verificación es un homomorphism, comprobar su imagen, y comprobar su kernel)

En respuesta a $(2)$, $H$ es el grupo de elementos de {$ 4^n| n\epsilon \mathbb Z $}. El grupo multiplicativo $(\mathbb Q^+,*)$ es el grupo de los números racionales positivos bajo multiplacation en la forma habitual. H es normal ya que cada subgrupo de un grupo abelian es normal. Se puede representar a cada uno de los cosets con $m/n$ donde $4$ no divide $n$ o $m$. Esta representación es, obviamente, único y cualquiera de los dos cosets tener diferentes representaciones de este formulario. Algunos de los elementos en $G/H$ son de orden finito algunos no lo son. Esto debería ser suficiente para hacer el problema.

Answer 3

Para el primero de ellos es más fácil si haces lo siguiente. En primer lugar $\mathbb{Z}_2$ es isomorfo a $\{-1,1\}$ donde la operación es multiplicación. Llamar a este grupo $G$. Entonces $\mathbb{R}^+\times\mathbb{Z}_2\cong \mathbb{R}^+\times G$. A continuación, defina $F(r,g)=g\cdot r$ (la multiplicación usual). Entonces Compruebe que está 1-1, a y un morfismo: $F((r,g)(r',g'))=F(rr',gg')=gg'\cdot rr'=(gr)(g'r')=F(r,g)F(r',g')$. Puede comprobar el resto. Para la otra parte Don Antonio apenas contesto.