Cómo probar una relación paramétrica a una función

Question

Por ejemplo, supongamos que me han dado las funciones de $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$$g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$. Si mi relación es $R=\{(x,(y,z))\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}^{2}: y=f(x) \wedge z=g(x)\}$ Cómo probar formalmente (a partir de un conjunto teórico punto de vista) que $R$ es una función. Tengo un intentar, pero yo no soy de convencer:

Vamos a suponer tener $(x,(y,z))\in R$ también $(x,(y',z'))\in R$. A continuación, $y=f(x), z=g(x)$ también $y'=f(x), z'=g(x)$, por definición. A continuación, $y=y'$ también $z=z'$. Por lo tanto,$(y,z)=(y',z')$.

En un caso más general, si tengo las funciones de $f_1, f_2,...,f_n:\mathbb{R}^m\longrightarrow \mathbb{R}$, y definir la función de $f:\mathbb{R}^{m}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}$ tal que $f(x_{1},x_{2},...,x_{m})=(f_{1}(y),f_{2}(y),...,f_{n}(y))$$y=(x_1,x_2,...,x_m)$, cómo justificar que es de hecho una función? Si mi probar está bien supongo que esto se puede hacer por inducción. Cualquier comentario será apreciado.

Answer 1

Vamos a demostrar de una manera mucho más general de la declaración.

Deje $I$ ser un conjunto de índices, y para cada $i\in I$ deje $f_i$ ser una función. A continuación, la relación $F$ definido en $X=\bigcap_{i\in I}\operatorname{dom}(f_i)$ $F=\{\langle x,\langle f_i(x)\mid i\in I\rangle\rangle\mid x\in X\}$ es una función.

Prueba. Deje $x\in X$, y supongamos que $\langle x,\langle y_i\mid i\in I\rangle\rangle,\langle x,\langle z_i\mid i\in I\rangle\rangle\in F$, entonces para cada a $i\in I$ tenemos $y_i=f_i(x)=z_i$, por lo tanto, las secuencias son iguales y $F$ es una función. $\square$

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Ahora la atención sobre el caso donde $\operatorname{dom}(f_i)$ son todos iguales, por lo que la intersección de la creación de $X$ es trivial.