Advertencia : Esto parece como un tonto tipo de pregunta, no el tipo que me gustaría preguntar en voz alta.
La asignación de contracción teorema es una herramienta básica para demostrar la existencia de, y encontrar soluciones a ecuaciones. Dada una expresión algebraica (lea: no diferencial) de la ecuación de $f(x)=0$ donde $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es lo suficientemente suave, a menudo es posible demostrar que la asignación de \begin{equation} \Phi_f(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)} \end{equation} es una contracción en algunas de espacio métrico restringiendo $x$ a un intervalo. Esto da lugar a la existencia de una solución a la ecuación original. Este es el método de Newton, que tiene tanto teóricos y prácticos de la significación.
Considere la ecuación diferencial ordinaria $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{v}(\mathbf{x},t)$. La asignación de Picard \begin{equation*} \Psi(\phi)(t) = \mathbf{x}_0 + \int_0^t \mathbf{v}(\phi(\tau),\tau) \; d\tau \end{ecuación*} es una contracción en función del espacio, bajo condiciones adecuadas, en $\mathbf{v}$. Esto produce una existencia resultado para la educación a distancia con los datos de $\mathbf{x}_0$. Una muy similar mapa aparece en el estudio de ciertos no lineal de ecuaciones diferenciales parciales (por ejemplo, Duhamel, el principio se aplica a semilinear ecuaciones). Contrasta con la solución numérica de una ecuación algebraica, la contracción en estos casos no es de mucho uso práctico.
Claramente la derivada es útil para demostrar la existencia de ecuaciones algebraicas, y de manera similar para la integral y ecuaciones diferenciales. En línea con el título, he perdido una aplicación teórica de la integral a resolver ecuaciones algebraicas o la derivada para resolver ecuaciones diferenciales? Si no, hay una moral de la razón por la que no deberíamos esperar encontrar esas aplicaciones?
