Libertades de las matrices ortogonales reales

Question

Estaba intentando averiguar, cuántos grados de libertades tiene un $n\times n$ -La forma más sencilla de determinarlo parece ser el hecho de que la exponencial matricial de una matriz antisimétrica da como resultado una matriz ortogonal:

$M^T=-M, c=\exp(M) \Rightarrow c^T=c^{-1}$

Una matriz antisimétrica posee $\frac{n(n-1)}{2}$ grados de libertad.

PERO: Cuando también pensé en cómo parametrizar estas libertades explícitamente (sin el exponencial) recordé, que las rotaciones en $\mathbb{R}^n$ puede parametrizarse mediante $n-1$ ángulos o cosenos.

No entiendo dónde se esconden los demás parámetros.

Mi conjetura es, que una transformación ortogánica en $n>3$ puede ser más complicado que una rotación o que hay diferentes tipos de rotación (que contienen reflectiong o cosas así) y que toda la combinación de estos diferentes tipos explica el resto de los parámetros.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

El resultado que recuerdas es erróneo. En realidad, no sé a qué se refiere. Tal vez usted está pensando en Ángulos de Euler en $3$ dimensiones, que son terriblemente engañosas. Cada ángulo de Euler no debe considerarse como una rotación sobre un eje diferente, sino como una rotación en un eje diferente. $2$ -que abarca dos ejes. El hecho de que sean lo mismo en $3$ dimensiones es una consecuencia de la identidad anómala ${3 \choose 1} = {3 \choose 2}$ (equivalentemente, la existencia del producto cruzado) y no se cumple en dimensiones superiores.

Por ejemplo, en cuatro dimensiones hay cuatro ejes de coordenadas, a saber $x, y, z, w$ y ${4 \choose 2} = 6$ Ángulos de Euler: $xy$ -rotación, $xz$ -rotación, $xw$ -rotación, $yz$ -rotación, $yw$ -rotación, $zw$ -rotación. Así que la versión correcta de este resultado realmente da el número correcto de parámetros.

Answer 2

Aunque cada rotación tendrá una matriz ortogonal, no todos los ortogonal de la matriz es la matriz de rotación. Y usted necesita algo más que los ángulos en el caso general para especificar una rotación.

De hecho, cada ortogonal de la matriz es similar a la de un bloque-diagonal de la matriz, cada bloque de $2\times 2$ y en más de una $1\times 1$ bloque; el $2\times 2$ bloques corresponden a las rotaciones, y el $1\times 1$ bloque corresponde a $1$ o a $-1$ (una identidad o una reflexión acerca de un codimension $1$ subespacio).

Cada rotación puede ser determinado por un solo ángulo, (e la $1\times 1$ bloque le da un furhter grado de libertad, pero esto en realidad no le dará un completo "dimensión"). Pero se necesita más que la de los ángulos para especificar la rotación, se debe especificar el $2$-dimensiones de los subespacios en los que actúan.

En $\mathbb{R}^3$, usted puede conseguir lejos con sólo tres ángulos porque puede determinar un único vector con dos ángulos (creo coordenadas esféricas); esto le da el vector normal al plano de rotación; a continuación, especifique el ángulo de rotación, y esto le da la $3 = \frac{3(2)}{2}$ parámetros.

Pero en $\mathbb{R}^n$$n\gt 3$, es necesario especificar el $2$-dimensiones subespacio y el ángulo para especificar la rotación (y esto suficientes veces). Esto no puede ser determinado por un único vector, además de un ángulo de más de la forma que lo hace en $\mathbb{R}^3$, debido a que estos aviones no son codimension $1$ (no se les puede dar como "el complemento ortogonal de a uno-dimensional subespacio).

Answer 3

Para describir una rotación en $\mathbb{R}^n$ sobre las necesidades $n(n-1)/2$ que equivale al número de libertades que posee una matriz ortogonal.

(Para describir una dirección en $\mathbb{R}^n$ se necesita $n-1$ ángulos. Véase http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#Verallgemeinerung_auf_n-dimensionale_Kugelkoordinaten )