Evaluar el límite dado

Question

Dada una función$f : R → R$ para los que$|f(x) − 3| ≤ x^2$. Encontrar

ps

¿Puede la función$$\lim_{ x\to0}\frac{f(x) - \sqrt{x^2 + 9}}{x}$ considerarse como$f(x)$, y meterse a evaluar el límite usando las leyes de los límites?

Answer 1

"Puede que la función de $f(x)$ ser considerado como $x^2 + 3$ e ir acerca de cómo resolver el límite utilizando el Límite de las leyes?"

No, ya que sólo tenemos que $|f(x)-3|\le x^2\implies 3-x^2\le f(x)\le 3+x^2$.

Pero podemos proceder mediante el uso de $\color{blue}{f(x)-3=O(x^2)}$, donde estamos utilizando el ("Big O"notación).

Entonces, podemos evaluar el límite de interés por la escritura

$$\begin{align} \frac{f(x)-\sqrt{x^2+9}}{x}&=\frac{f(x)-3\left(1+\frac{x^2}{9}\right)^{1/2}}{x}\\\\ &=\frac{f(x)-3\left(1+\color{red}{\frac12 \frac{x^2}{9}+O(x^4)}\right)}{x}\\\\ &=\frac{\color{blue}{\left(f(x)-3\right)}+\color{red}{O(x^2)}}{x}\\\\ &=\frac{\color{blue}{O(x^2)}+\color{red}{O(x^2)}}{x}\\\\ &=O(x)\to 0\,\,\text{as}\,\,x\to 0 \end{align}$$

Y hemos terminado!

Answer 2

Tenemos $|f(x)-\sqrt{x^2 +9}| = |f(x)-3 + 3 - \sqrt{x^2 + 9}| \le |f(x)-3| + |3 - \sqrt{x^2+9}| \le x^2 + |3 - \sqrt{x^2 + 9}|$. Asi que:

ps

Ahora aprieta.

Answer 3

Aplicar la ley de |a+b| <= |a| + |b|

Deje $L = \frac{f(x)-\sqrt{x^2+9}}{x}$

$$ |L| = \lvert\frac{f(x) - 3 + 3 - \sqrt{x^2+9}}{x}\rvert \le |\frac{f(x)-3}{x}| + |\frac{3 - \sqrt{x^2+9}}{x}| \\ \le |\frac{x^2}{x}| + |\frac{(3-\sqrt{x^2+9})(3+\sqrt{x^2+9})}{x(3+\sqrt{x^2+9})}| = |x| + |\frac{x}{3+\sqrt{x^2+9}}| $$

Por lo tanto, $$ \lim_{x \rightarrow 0}{|L|} \le \lim_{x \rightarrow 0}{(|x| + |\frac{x}{3+\sqrt{x^2+9}}|)} = 0 \quad (1) $$

Desde $|L| \ge 0 \quad \forall x$, también tenemos $\lim_{x \rightarrow 0}{|L|} \ge 0 \quad (2)$

A partir de (1) y (2) $\lim_{x \rightarrow 0}{|L|} = 0$ o $\quad \lim_{x \rightarrow 0}L = 0$