¿Cuál es el número esperado de carreras del mismo color en una baraja de cartas?

Question

baraja tiene 52 cartas, 26 y 26 Rojo Negro. Una carrera es un bloque contiguo máximo de tarjetas, que tiene el mismo color.

P.ej.

• (R, B, R, B, ..., R, B) tiene 52 carreras.
• (R, R, R, ..., R, B, B, B, ..., B) tiene 2 carreras.

¿Cuál es el número esperado de carreras en una baraja barajada?

Answer 1

Supongamos$X_n$ denota el color de la$n$ th carta de la baraja barajada.

A continuación, tenga en cuenta que la última carta siempre denota el final de una carrera. Otros extremos de carreras se caracterizan por$X_n\ne X_{n+1}$, lo que indica una carrera que termina en$n$.

Tenga en cuenta que$P(X_n\ne X_{n+1})=26/51$ (ya que una vez que se fije una tarjeta, se puede elegir otra carta del restante 51 26 de los cuales tendrá un color diferente).

Así que resumiendo el indicadores$X_n\ne X_{n+1}$ obtenemos el número de carreras -

$\#runs=1+\sum_{n=1}^{51}\mathbb{I}_{X_n\ne X_{n+1}}$.

Asi que $E(\#runs)=1+\sum_{n=1}^{51}P(X_n\ne X_{n+1})=1+\sum_{n=1}^{51}26/51=27$.