Es la definición de un paquete no estándar tensor de Lang?

Question

De fondo

Vamos $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$, y $\mathfrak{C}$ ser subcategorías de la categoría de los espacios de Banach ( $\mathbb{R}$ ). Supongamos que tenemos un functor $\lambda:\mathfrak{A}^{op}\times\mathfrak{B}\to \mathfrak{C}$.

Deje $f:E'\to E$ ser una de morfismos pertenecientes a $\mathfrak{A}$, y deje $g:F\to F'$ ser una de morfismos pertenecientes a $\mathfrak{B}$. (Nota: Estos son morfismos de espacios vectoriales topológicos).

A continuación, tenemos un mapa de $$\matriz{Hom(E',E) \times Hom(F,F')\a Hom(\lambda(E,F),\lambda(E',F'))\\ (f,g)\mapsto\lambda(f,g)}$$

Podemos decir $\lambda$ es de clase $C^p$ si para todos los colectores $U$, y cualquiera de los dos $C^p$ morfismos $U\to Hom(E',E)$$U\to Hom(F,F')$, la composición de la $$U\to Hom(E',E) \times Hom(F,F')\to Hom(\lambda(E,F),\lambda(E',F'))$$ también es de clase $C^p$. (Nota: se puede sustituir $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{B}$ con categorías de tuplas para generalizar este a diversas variables. De hecho, esto es lo que hacemos a continuación.)

No es difícil mostrar que esto induce a un único functor $$\lambda_X:VB(X, \mathfrak{A})^{op}\times VB(X,\mathfrak{B})\to VB(X,\mathfrak{C}).$$ on vector bundles taking values in the appropriate vector bundle categories over $X$.

Podemos definir un tensor de bulto de tipo a $\mathbf{\lambda}$ $X$ $\lambda_X(TX)=\lambda_X((TX,\dots,TX),(TX,\dots,TX))$ donde $TX$ es la tangente del paquete.

Sin embargo, esto no está de acuerdo con la definición dada en la Wikipedia o en cualquier otro lugar he mirado.

Preguntas

• Es esta terminología no estándar?

• Es la noción misma no estándar?

• Si la terminología es no estándar, pero el concepto es estándar, tiene un nombre diferente?

• Es esta definición es útil?

• ¿Incluye esto a los más de vector de paquetes como el tensor de paquetes de la definición estándar?

Answer 1

Esta es una ligera variación de la definición estándar, por lo que puedo contar.

Primero que todo, permítanme restringir a lo finito dimensional contexto, ya que esto es más estándar. A continuación, un ejemplo típico de $\lambda$ es el functor que envía a $V_1,\ldots,V_p,W_1,\ldots,W_q$ $V_1^{\*}\otimes\cdots\otimes V_p^{\*}\otimes W_1\otimes \cdots \otimes W_q.$El correspondiente tensor de haz se $(T_X^*)^{\otimes p}\otimes T_X^{\otimes q}$ (aquí me refiero a la costumbre producto tensor de paquetes), y me imagino secciones de este que se conoce como los tensores de tipo $(p,q)$ clásico. (Puede ser que el $p$ $q$ sería al revés; me gustaría comprobar los convenios cuidadosamente de cualquier referencia que se utiliza la terminología de este tipo.)

Usted puede comprobar en Spivak, o en la Wikipedia, o en cualquier número de otras fuentes para ver los distintos tipos de terminología que se utiliza para esta construcción, pero cualquiera que sea la terminología, las secciones de este tipo de paquetes son precisamente lo que se conoce como tensores en clásicos de la geometría diferencial.

En los tratamientos más modernos, se puede ver a menos de esta terminología, porque la gente acaba de escribir explícitamente el tensor de productos de paquetes como lo hice anteriormente. Pero esta terminología evolucionado durante un largo período de tiempo, y tensores en la geometría diferencial estaban siendo considerados antes de la functorial noción de producto tensor de espacios vectoriales fue introducido.

Como forma más general Lang definición es, yo no puedo pensar en ninguna otra $\lambda$s de la parte superior de mi cabeza (y puede ser que, si se imponen algunas natural axiomas en $\lambda$, hay esencialmente hay más ejemplos). Como lo que puedo decir, simplemente tiene abstraer las propiedades que se necesitan para tener un functor de espacios vectoriales dar lugar a la correspondiente functor de vector de paquetes.

[Edit: Como se señaló en el comentario de abajo, y en Tim Perutz la respuesta, de hecho hay otros $\lambda$'s: por ejemplo, no son simétricas tensores y exterior de los tensores (el último dando formas diferenciales, por supuesto), que me misteriosamente abandonados cuando escribí el anterior; cabe ciertamente solo, y mi declaración acerca de la existencia de ningún otro $\lambda$s está mal tal y como está - - - - todos estos Schur-tipo de functors son sin duda el candidato $\lambda$s. Una cosa que no me había dado cuenta, que es señalado por Tim Perutz, es que el caso de densidades también está incluido en Lang definición.]

Answer 2

Es la noción de no-estándar? Como Emerton dice, la respuesta es no, excepto quizás en los menores detalles.

La terminología no estándar (y más permisivo que la noción usual de tensor)? Sí, yo diría que lo es.

Debido a Lang que permite introducir las categorías de los espacios de Banach, su concepto es muy general; tomando las categorías pequeñas, que uno no tiene que tener mucho functoriality a todos. Por ejemplo, en el caso de que $\lambda$ tiene sólo uno, covariante de entrada, podemos tomar $\mathfrak{B}$ a ser la categoría con un objeto, $\mathbb{R}^n$, y morfismos $GL(n)$. A continuación, $\lambda(\mathbb{R}^n)$ es una representación $V$$GL(n)$. En una $n$-colector $X$, el resultado bundle $\lambda_X(TX)$ es generalmente conocido como asociado un paquete. Formulario de la directora $GL(n)$-bundle $Fr_X$ de los cuadros (que consiste de pares de $x\in X$ con un isomorfismo $T_x X \to \mathbb{R}^n$). A continuación,$\lambda_X(TX)= Fr_X \times_{GL(n)}V$.

La noción de asociados paquete es que el diferencial de los geómetras a menudo resulta más conveniente que el de Lang, porque le permite a uno decir exactamente a que la estructura de los grupos de interés (aquí, $GL(n,\mathbb{R})$) y exactamente qué representaciones.

Una definición restrictiva del tensor de paquetes permite a los asociados paquetes si $V$ es un producto tensor de copias de $\mathbb{R}^n$ y su doble. Un más amplio (y sospecho que bastante estándar) definición permite subquotient las representaciones de este tipo - en particular, simétrica tensores y formas diferenciales. Pero Lang aparentemente permite otras cosas, por ejemplo, $r$- densidad (tomar la representación de $GL(n)\to \mathbb{R}^\times$$g\mapsto |\det g|^r$).

Es el mayor generalidad (en comparación con el estándar de la noción de tensor) útil? En los ejemplos (por ejemplo, densidades) sí, en abstracto, no realmente - lo interesante de la geometría se adjunta a clases específicas de la estructura de los grupos y sus representaciones.