Errores de álgebra computacional

Question

En el curso de las matemáticas, utilizo mucho los cálculos por ordenador. Hay un CAS que utilizo sobre todo, aunque de vez en cuando me encuentro con respuestas totalmente erróneas.

Después de buscar un poco en Google, no consigo encontrar una lista de esos fallos. Tener esa lista nos ayudaría a seguir siendo escépticos y a ayudar a nuestros alumnos a serlo. Así que esta es la pregunta:

¿Cuáles son algunos errores matemáticos en los sistemas de álgebra computacional?

Por favor, incluya una versión específica del software que tiene el error. Tenga en cuenta que no estoy pidiendo malas decisiones de diseño, y no estoy pidiendo una discusión de los méritos relativos de diferentes CAS.

Answer 1

En 1999, cuando compré por primera vez una HP49G, cuyo principal punto de venta era un CAS, se me ocurrió intentar sumar la serie armónica $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ . Me sorprendió un poco ver el resultado 1151,8697216.

Resultó que sabía calcular numéricamente la antiderivada discreta $\Psi(m) := \sum_{n=1}^m \frac{1}{n} \approx \ln m + \gamma$ y en el modo particular en el que se encuentre, sustituirá $\infty$ con el mayor número de punto flotante que podía representar, que era un poco menos de $10^{500}$ . De hecho, $\Psi(10^{500}) \approx 500\ln 10 + \gamma \approx 1151.8697216$ .

La historia tiene un final feliz: tras cambiar algunas banderas, volvió $+\infty$ .

Answer 2

Dado que los sistemas más populares son todos comerciales, tienden a guardar su base de datos de fallos con bastante cuidado, por lo que hacerlos públicos sería En serio reducir sus ventas. Por ejemplo, para el proyecto de código abierto Sage (que es bastante joven), se puede obtener una lista de todos los errores conocidos en esta página . 1582 problemas conocidos el 16 de febrero de 2010 (que incluyen peticiones de funciones, problemas con la documentación, etc.).

Eso es un orden de magnitud menos que los sistemas comerciales. Y no es porque sea mejor, es porque es más joven y más pequeño. Es puede ser mejor, pero hasta que SAGE no haga muchos análisis (cerca del 40% de los errores de CAS están ahí) y una interfaz de usuario de lujo (otro 40%), es demasiado difícil de comparar.

Una vez dirigí un curso de postgrado cuyo tema central era el estudio de la desconexión fundamental entre la naturaleza algebraica de los CAS y la naturaleza analítica de aquello para lo que se utilizan principalmente. Hay cuestiones de lógica: los CAS funcionan más o menos en una lógica intensional, mientras que la mayor parte del análisis se plantea de forma puramente extensional. No existe una "semántica denotativa" bien definida para las expresiones-como-funciones, lo que contribuye en gran medida a los errores más profundos de los CAS.

Answer 3

$2^{4^{4^4}} < 4^{4^{4^4}}$

WA: Falso

Actualización: parece que ya está arreglado

Answer 4

Un error bastante grave en Mathematica 7 en mi opinión es que piensa $ \sqrt{x^2} =x$ no $|x|$ , lo que lleva, por ejemplo, a 2 soluciones de la siguiente ecuación diferencial: $$ y'(x) = 2 y(x) (x \sqrt{y(x)} - 1) \quad y(0) =1$$ Mathematica da felizmente las siguientes soluciones: $$ y(x) \rightarrow \frac{1}{(1-2 e^x +x)^2}, \quad y(x) \rightarrow \frac{1}{(1+x)^2} $$ Por supuesto, es un teorema que existe una solución única para una ecuación diferencial de este tipo, pero eso no significa que mis alumnos entreguen la respuesta incorrecta en tropel...

Código de Mathematica: FullSimplify[DSolve[{y'[x] == 2 y[x] (x Sqrt[y[x]] - 1), y[0] == 1}, y[x], x]]

Answer 5

No conozco ningún fallo interesante en los paquetes de álgebra simbólica, pero conozco una historia verdadera, esclarecedora y entretenida sobre algo que parecía un fallo pero no lo era. $\def\sinc{\operatorname{sinc}}$

Definir $\sinc x = (\sin x)/x$ .

Alguien encontró el siguiente resultado en un paquete de álgebra: $\int_0^\infty dx \sinc x = \pi/2$

A continuación, obtuvieron los siguientes resultados:

$\int_0^\infty dx \sinc x \; \sinc (x/3)= \pi/2$

$\int_0^\infty dx \sinc x \; \sinc (x/3) \; \sinc (x/5)= \pi/2$

y así sucesivamente hasta

$\int_0^\infty dx \sinc x \; \sinc (x/3) \; \sinc (x/5) \; \cdots \; \sinc (x/13)= \pi/2$

Así que, por supuesto, cuando lo consiguieron:

$\int_0^\infty dx \sinc x \; \sinc (x/3) \sinc (x/5) \; \cdots \; \sinc (x/15)$$ = \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi$

sabían que tenían que informar del fallo. El pobre vendedor luchó durante mucho tiempo para intentar solucionarlo, pero finalmente se dio cuenta de que este resultado es correcto.

Ahora se conocen como Integrales de Borwein .