Calcular el límite 0 de las raíces cuadradas anidadas

Question

Es una tarea interesante intentar encontrar el límite de las expresiones de raíz cuadrada anidadas.

$$\lim_{n \to \infty}\left( 1 + \sqrt{2 + \sqrt{3+ ... + \sqrt {n + \sqrt{n+1}}}}\right)$$

¿Cómo se resuelve esto?

Answer 1

La convergencia de esta expresión radical anidada puede observarse mediante Prueba de convergencia de Herschfeld (véase Herschfeld, On Infinite Radicals. Amer. Math. Monthly 42, 419-429, 1935.):

Teorema: Para $0<p<1$ y $a_n\ge 0$ el límite $$\lim_{n\rightarrow\infty} a_1+(a_2+(\cdots+(a_n)^p)^p)^p$$ existe si y sólo si la secuencia $(a_n^{p^n})_n$ está acotado.

Eso reduce la comprobación de la convergencia a ver que $a_n^{p^n}=n^{2^{-n}}$ está acotado, lo cual es evidente ya que

$$n^{2^{-n}}=e^{2^{-n}\log n}\longrightarrow 1$$

como $n\rightarrow\infty$ .

Sin embargo, no se conoce ninguna forma cerrada para expresar el límite.

Answer 2

Este es el cuadrado de la Constante radical anidada que converge, pero no se sabe si posee una forma cerrada. Véase también Constante de recurrencia cuadrática de Somos .