Resultados algebraicos utilizando la teoría K inferior como caja negra

Question

Hay un seminario de teoría K algebraica en mi escuela y nos cuesta encontrar aplicaciones de otras áreas que no sean la topología. Nos gustaría tener un bonito enunciado como "Si X entonces Y" cuya demostración haga un uso inesperado de $K_0(R)$ o $K_1(R)$ donde X e Y son enunciados puramente algebraicos sobre anillos (o algo así).

Un ejemplo de cohomología de grupos (no de teoría K) es el siguiente teorema de Sylow, que es elemental de enunciar.

Problema A. Supongamos que $G$ es un grupo finito de orden $mn$ donde $\gcd(m,n)=1$ . Supongamos que $A$ es un subgrupo abeliano normal de orden $m$ . Demostrar que $G$ tiene un subgrupo de orden $n$ y demostrar que dos subgrupos cualesquiera son conjugados.

Sorprendentemente se puede dar una prueba rápida con cohomología de grupo. Estamos buscando algo similar, excepto que tal vez para los anillos / campos, y en lugar de la cohomología de grupo debe utilizar K-teoría.

También he visto el siguiente resultado como problema extra en álgebra conmutativa, y mi profesor me dijo que la única solución que conocía utilizaba la teoría K. Sin embargo, no conozco la solución.

Problema B. Supongamos que $R\subseteq S$ es una extensión integral de dominios conmutativos. Supongamos que $S$ es un PID. Demostrar que $R$ es un PID.

No estoy seguro de que la afirmación anterior sea cierta tal cual, pero estoy definitivamente bastante seguro de que es cierto si se asume que $R$ es una entidad finitamente generada gratis $R$ -módulo.

¿Algo más como el problema B anterior?

Answer 1

Dejemos que $R$ sea el anillo $\mathbb{Z}[T]$ después de invertir $T$ y $T^m-1$ para todos $m\geq 1$ . Se puede demostrar que $R$ es un dominio ideal principal [Gray2]. ¿Es un dominio euclidiano? Es difícil demostrar que los dominios euclidianos son dominios ideales principales, así que quizá sea un trabajo para $K$ -teoría después de todo.

Recordemos que para un anillo conmutativo $SK_1(R)$ es el cociente $SL(R)/E(R)$ o, de forma equivalente, el núcleo del mapa $K_1(R)\to R^\times$ inducido por el determinante. Es fácil demostrar [Ros, Prop. 2.3.2] que si $R$ es un dominio euclidiano, entonces $SK_1(R) = 0$ .

Sin embargo, en este caso concreto $R$ Grayson, en [Gray2], señala una observación de Stein y Franks según la cual los resultados de [Gray1] implican que $SK_1(R) = SSR$ donde $SSR$ es un cierto grupo abeliano que funciona como receptáculo de las obstrucciones a que un difeomorfismo (de cierto tipo, véase [Gray2] para los detalles) de una variedad compacta y lisa sea isotópico a un difeomorfismo de Morse-Small. Aparentemente, éstos son importantes en la teoría de los sistemas dinámicos. Sin embargo, $SSR$ puede definirse completamente de forma algebraica.

De todos modos, H.W. Lenstra Jr. demostró que $SSF\cong \oplus_{n\geq 1}{\rm Cl}(\mathbb{Z}[\zeta_n,1/n])$ donde $\zeta_n$ es una primitiva $n$ -raíz de la unidad y ${\rm Cl}(-)$ denota el grupo de clases. Se puede ver que esto es distinto de cero mirando $n$ una potencia primera, de modo que el grupo de clase de $\mathbb{Z}[\zeta_n,1/n]$ es el mismo que el de $\mathbb{Z}[\zeta_n]$ . Hay infinidad de ellas que no son triviales. Por ejemplo ${\rm Cl}(\mathbb{Z}[\zeta_{23}]) \cong \mathbb{Z}/3$ . También se puede considerar que este es otro aspecto de $K$ -ya que para un dominio Dedekind el grupo de clase es el reducido $0$ -a $K$ -grupo de $R$ .

Así, $SK_1(R)$ es distinto de cero y por tanto $R$ no puede ser un dominio euclidiano. Así que tenemos un ejemplo de un dominio ideal principal que no es un dominio euclidiano.

• [Gray1] - Grayson, ' $K$ -Teoría de los endorfismos".
• [Gray2] - Grayson, ' $SK_1$ de un dominio ideal principal interesante".
• [Ros] - Rosenberg, 'Higher Algebraic $K$ -Teoría y sus aplicaciones".

Answer 2

Si está dispuesto a considerar $K_{0}$ de variedades (esquemas) en lugar de anillos, entonces el documento Algebraica $K$ -teoría y fórmulas de suma de cuadrados de Dugger e Isaksen se ajusta a lo que se busca.

Dejemos que $F$ sea un campo. Los problemas de sumas de cuadrados preguntan por qué $r,s$ y $n$ existen identidades $$ (x_{1}^{2} + \cdots + x_{r})(y_{1}^{2} + \cdots + y_{s}^{2}) = z_{1}^{2} + \cdots + z_{n}^{2} $$

donde el $z_{i}$ son bilineales en $X=(x_{1},\dots,x_{r})$ y $Y=(y_{1},\dots,y_{s})$ .

Dugger e Isaksen establecen límites a los posibles triples $[r,s,n]$ considerando los haces vectoriales algebraicos en el espacio $\mathbb{P}^{s-1} - V_{q}$ , donde $V_{q}$ es la subvariedad de $\mathbb{P}^{s-1}$ dado por $\sum_{i} x_{i}^{2} = 0$ . Demuestran que la existencia de un $[r,s,n]$ implica la existencia de un determinado haz vectorial sobre $\mathbb{P}^{s-1} - V_{q}$ lo que supone algunas restricciones en la estructura de $K_{0}(\mathbb{P}^{s-1} - V_{q})$ .

En la sección 3 de su documento, que es esencialmente independiente del resto, calculan $K_{0}(\mathbb{P}^{s-1} - V_{q})$ con métodos bastante clásicos. Este resultado es la caja negra que utilizan para obtener límites sobre las posibles triplas $[r,s,n]$ .