Es la curva cuspidales$\mathcal{M}$ es un espacio de módulos para las líneas gruesas en$\mathbb{C}^2$?

Question

Como sugiere la pregunta, es la curva de cuspidales$\mathcal{M}$ un espacio de módulos para las líneas gruesas en$\mathbb{C}^2$? Me inclino a creer que la respuesta es no, pero todos los intentos de demostrar que hasta el momento no han parecido fructífera ...

Answer 1

Así que, supongo que te refieres a "líneas a través del origen" porque de lo contrario, una dimensión contar basta (líneas se $ax+by+c=0$, por lo que tiene tres parámetros, pero modulo $\mathbb{C}^\times$ da $2$ dimensiones de la familia). Una rápida, pero es cierto que no riguroso (aunque puede ser rigurosa) modo de ver que no es que el espacio de moduli de líneas a través de la procedencia en $\mathbb{C}^2$ debe ser suave, porque hay automorfismos de a $\mathbb{C}^2$ que intercambiar cualquiera de las dos líneas a través de la de origen, por lo tanto el automorphism grupo de el espacio de moduli de ellos actúa transitivamente, y por lo que es suave.