¿Cuál es la relación entre $\sin(a+b)$ y la regla del producto de derivadas?

Question

Me di cuenta de esta interesante correlación entre la fórmula de adición de senos y la regla del producto derivado.

La fórmula de adición de senos es

$$\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$$

La regla del producto derivado es

$$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)$$

Como muchos de ustedes probablemente saben, la derivada de $\sin$ es $\cos$ por lo que la fórmula de adición de senos podría ser reescrita como

$$\sin(a+b)=\sin(a)\sin'(b)+\sin(b)\sin'(a)$$

Me preguntaba si había alguna razón para esta correlación entre ambas. Entiendo que la fórmula de adición de ángulo de seno se trata de tomar el seno de dos ángulos diferentes y que la regla del producto derivado se trata de multiplicar dos funciones diferentes y encontrar la derivada por lo que hay muy poca relación entre ambas. ¿Quizás esto es solo una coincidencia?

Answer 1

Vamos a tratar eso como una ecuación funcional
y ver qué pasa.

Supongamos
$f(a+b) =f(a)f'(b)+f(b)f'(a) $.

Mi solución,
aunque no del todo completa,
es esta:

Si $f(0) \ne 0 ,
$f(x) = f(0)e^{x/(2f(0))} $.

Si $f(0) = 0 ,
$f(x) = \dfrac{e^{x\sqrt{r}}-e^{-x\sqrt{r}}}{2\sqrt{r}}
donde $r = f'''(0) $.
Nota: Muestro abajo que,
en este caso,
$f'(0) = 1
y $f''(0) = 0,
pero no he podido demostrar
que
$f'''(0) = -1
. Una vez que esto se muestre,
la solución está completa.

Al poner $b=0 ,
obtenemos
$f(a) = f(a)f'(0)+f(0)f'(a) $,
así que
$f(0)f'(a) = f(a)(1-f'(0)) $.

Al poner $a=0 también ,
$f(0) = 2f(0)f'(0) $.
Si $f(0) \ne 0 ,
$f'(0) = \frac12 $.

Si $f(0) = 0,
entonces,
asumiendo que
$f$ no es constante cero,
$f'(0) = 1 $.

Si $f(0) \ne 0 ,
entonces
$f'(a) = cf(a) $,
donde
$c = \frac{1-f'(0)}{f(0)} = \frac{1}{2f(0)} $.
De esto,
$(\ln(f(x))' = c $
y por lo tanto,
$\ln(f(x)) = cx+d
o
$f(x) = De^{cx} $.
Para que esto satisfaga la ecuación original,
dado que $f'(x) = cDe^{cx} $,
queremos
$De^{c(a+b)} = De^{ca}(cDe^{cb})+De^{cb}(cDe^{ca}) = 2cD^2e^{c(a+b)} $
así que debemos tener
$2cD = 1
o
$D = \frac1{2c} = \frac1{2(\frac{1}{2f(0)})} =f(0) (¡Obvio de $f(x) = De^{cx}$!).
Por lo tanto,
si $f(0) \ne 0 ,
$f(x) = f(0)e^{x/(2f(0))} $.

Si $f(0) = 0 ,
dado que $f'(0) = 1 ,
$f(a+b) = f(a)f'(b)+f(b)f'(a) $.
Si $b$ es pequeño
y $f'$ y $f''$
están bien comportados,

$f(a+b) \approx f(a) +bf'(a) + b^2f''(a)/2+b^3f'''(a)/6 $
y
$f(a)f'(b)+f(b)f'(a) \approx f(a)(f'(0)+bf''(0))+f'(a)(f(0)+bf'(0)) =f(a)+bf''(0)+bf'(a) $
así que $f''(0) = 0 $.

Al tomar un término adicional,
$f(a)f'(b)+f(b)f'(a) \approx f(a)(f'(0)+bf''(0)+b^2f'''(0)/2)+f'(a)(f(0)+bf'(0)+b^2f''(0)/2) =f(a)(1+b^2f'''(0)/2)+bf'(a)+O(b^3) $
así que
$b^2f''(a)/2 \approx f(a)b^2f'''(0)/2 $
o,
dejando $b \to 0 ,
$f''(a) = f(a)f'''(0) $.

Sea
$r = f'''(0) ,
así
$f''(a) = rf(a) $
con
$f(0) = 0
y
$f'(0) = 1 $.

La solución a esto es
$f(x) = \dfrac{e^{x\sqrt{r}}-e^{-x\sqrt{r}}}{2\sqrt{r}} $.

¡Ajá! Parece $\sin$
si podemos mostrar que
$r < 0$.

Sin embargo,
me estoy quedando sin energía,
así que me detendré aquí.
Si alguien puede terminar esto,
con gusto les daré un voto arriba.

Answer 2

No estoy muy seguro de cuántos antecedentes matemáticos tienes, así que si algo de esto se vuelve excesivo, deja un comentario y haré todo lo posible para ajustarlo a tus necesidades.

De hecho, tienen mucho que ver entre sí. Existe un teorema famoso llamado el teorema de Euler (probablemente uno de los resultados más bellos en matemáticas) que

$$ e^{i \pi} + 1 = 0$$

Lo cual es un caso especial de la fórmula general

$$ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) $$

Donde $i= \sqrt{-1} $. Esta fórmula mostrará la correspondencia que has observado. Una prueba de que es verdadera es intuitiva al mirar la serie de Taylor de $e^x, \cos(x), \sin(x)$ y sustituir/multiplicar. Pero eso no es nuestro enfoque aquí.

Sabemos

$$ \sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1$$ $$ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) $$

A partir de aquí podemos derivar que

$$ e^{ix} = \cos(x) + i \sqrt{1 - \cos(x)^2} $$

Ahora intentemos resolver para $\cos(x)$. Podemos mover términos al lado izquierdo y elevar al cuadrado para obtener

$$ \left( e^{ix} - \cos(x) \right)^2 = i^2 (1 - \cos(x)^2 ) $$

$$ e^{2ix} - 2e^{ix}\cos(x) + \cos(x)^2 = -1(1 - \cos(x)^2) = \cos(x)^2 -1 $$

Cancelamos el $\cos(x)^2$ en ambos lados que son comunes para obtener

$$ e^{2ix} - 2e^{ix}\cos(x) = -1 \rightarrow \cos(x) = \frac{e^{2ix}+1}{2e^{ix}}$$

O

$$ \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} $$

Luego se sigue que

$$ \cos(a + b) = \frac{e^{i(a+b)} + e^{-i(a+b)}}{2}$$

$$ \cos(a + b) = \frac{e^{ia}e^{ib} + e^{-ia}e^{-ib}}{2}$$

ADVERTENCIA: MUY POCA RIGOROSIDAD, ALTO NIVEL DE "SENTIMIENTO" Y "INTUICIÓN" A CONTINUACIÓN PARA AHORRAR EN LA ESCRITURA

Ya ves que la forma (función)*(función) aparece, pero no tiene nada que ver directamente con la regla del producto. Lo que sucede, sin embargo, es que si tomamos el (multiplicar por -1) y luego derivamos esta expresión, llegamos a

$$ \sin(a + b)$$

La regla del producto aplicada a cada pieza (función)*(función) que involucra exponenciales, crea 4 productos individuales, en lugar de los 2 con los que empezamos. Pero resulta que sin y cos tienen 2 términos cada uno, por lo que al multiplicarlos, es intuitivo que puedan arrojar un total de 4 términos. Gracias a un álgebra muy generosa, los términos se cancelan justo, y así obtienes la regla de adición para seno a partir de la fórmula del producto. Y en realidad tienen mucho que ver entre sí.