¿Métodos para determinar qué raíces de un polinomio están dentro del círculo unitario?

Question

Digamos que tengo un polinomio como $$p(x) = x^4 + bx^3 + cx^2 + bx + 1.$$

Tengo la firme sospecha de que, para cualquier parámetro, siempre hay dos raíces dentro del círculo unitario y dos raíces fuera del círculo unitario.

¿Qué herramientas puedo utilizar para determinar si esto es correcto o no?

No busco necesariamente una solución a este problema, pero cualquier respuesta que resuelva este problema contendría naturalmente herramientas que puedan utilizarse en el caso general.

Gracias.

Answer 1

$p\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x^4}p(x)$ . Por lo tanto, a menos que haya raíces en el círculo unitario (lo que no se descarta en el problema tal y como se plantea), hay dos dentro y dos fuera del círculo unitario.

Answer 2

Como dijo rogerl, por simetría el número de raíces dentro del círculo unitario es igual al número de fuera. Ahora bien, ¿cuántas hay en el círculo unitario? Supongamos que $1$ no es una raíz, es decir $2 + 2 b + c \ne 0$ . La transformación de Möbius $ w = i(1+z)/(1-z)$ ( $z = (w-i)/(w+i)$ ) toma el círculo unitario (excepto el punto $1$ ) a la línea real, y $p(z) = 0$ se convierte en $g(w) = (2b+c+2) w^4+(2c-12)w^2-2b+c+2 = 0$ . Las soluciones reales de $g(w) = 0$ corresponden (por parejas, cuando son distintas de cero) a soluciones no negativas de $(2b+c+2) t^2 + (2c-12) t - 2b + c + 2 = 0$ . Las raíces de esa cuadrática son ${\dfrac {-c+6\pm 2\,\sqrt {{b}^{2}-4\,c+8}}{2\,b+c+2}}$ . Así, por ejemplo, cuando $b = 1$ y $c = 2$ la cuadrática tiene dos raíces positivas ( $1$ y $1/3$ ), y las cuatro raíces de su cuártico están en el círculo unitario.