Cuántas formas de calcular: $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(u+n)^2}$ donde $u \not \in \Bbb{Z}$

Question

Hoy me he encontrado con una serie:

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(u+n)^2}=\frac{\pi^2}{(\sin \pi u)^2}$$ donde $u \not \in \Bbb{Z}$ . He conocido un método para computarlo (por la fórmula del residuo): $$\int_{|z|=N+1/2}\frac{\pi \cot \pi z}{(u+z)^2}\text{dz}=-\frac{\pi^2}{\sin^2 \pi u}+\sum_{k=-N}^{N}\frac{1}{(u+k)^2}$$

donde $-u$ es un polo de orden 2. y $n \in \Bbb{Z}$ y $|n| \leq N$ son polos de orden 1. porque $$\left|\int \frac{\pi \cot \pi z}{(u+z)^2}\text{dz}\right|\leq \int_0^{2\pi}\pi\left|1+\frac{2}{e^{i2\pi z}-1}\right|\frac{1}{|((N+1/2)e^{i\varphi}+u)^2|}\text{d}\varphi \rightarrow 0$$ como $N \rightarrow +\infty$

¿Existe alguna otra forma de ordenador?

Answer 1

Considere la Forma de Weierstrass de la función Gamma:

$$\frac{1}{\Gamma (x)}=xe^{\gamma x}\prod_{n\geq 1}\left(1+\frac{x}{n}\right)e^{-\frac{x}{n}}$$ Entonces:

$$\ln\Gamma (x)=-\ln x-\gamma x+\sum_{n\geq 1}\left[\frac{x}{n}-\ln \left(1+\frac{x}{n}\right)\right]$$

$$\frac{d}{dx}\ln\Gamma(x)=-\frac{1}{x}-\gamma+\sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+x}\right)$$

$$\begin{align*}\frac{d^2}{dx^2}\ln\Gamma (x)&=\frac{1}{x^2}+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(n+x)^2}\\[7pt]&=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n+x)^2}\quad(1)\end{align*}$$

Obsérvese que al dejar $x\to 1-x$ y $n\to-n-1$ también tenemos:

$$\frac{d^2}{dx^2}\ln\Gamma(1-x)=\sum_{n\leq -1}\frac{1}{(n+x)^2}\quad(2)$$

Combine $(1)$ y $(2):$

$$ \begin{align*}\sum_{\mathbb{Z}}\frac{1}{(n+x)^2}&=\frac{d^2}{dx^2}\ln\Gamma(1-x)+\frac{d^2}{dx^2}\ln\Gamma(x)\\&=\frac{d^2}{dx^2}\ln \Gamma(x)\Gamma(1-x)\\[7pt]&=\frac{d^2}{dx^2}\ln\pi\csc \pi x\quad(x\not\in\mathbb{Z})\\[7pt]&=\pi^2\csc^2\pi x\end{align*}$$

Answer 2

Dejemos que $f(z) =\displaystyle \sum_{n\in \mathbb{Z}} \frac{1}{(n+z)^2}$ y $g(z) = \dfrac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)}.$ Ambas funciones son $1$ periódicas, por lo que basta con entender su comportamiento en la franja $\mathfrak{R}(z)\in [0,1).$ Es sencillo comprobar que ambas funciones tienen una singularidad sólo en el origen y están acotadas en la franja excluyendo cualquier vecindad del origen.

Ahora mira cerca $z=0.$ Tenemos $f(z) =\displaystyle \frac{1}{z^2} + \sum_{n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}} \frac{1}{(z+n)^2}.$ Por la expansión en serie de potencias de las series sinusoidales y geométricas, tenemos $$ g(z) = \frac{\pi^2}{\pi^2 z^2 - (\pi^4/3)z^4 + \mathcal{O}(z^6) } = \frac{1}{z^2} \left( \frac{1}{1- (\pi^4/3) z^2 + \mathcal{O}(z^4) } \right) = \frac{1}{z^2} \left( 1 + (\pi^2/3) z^2 + \mathcal{O}(z^4) \right) = \frac{1}{z^2} +\pi^2/3 + \mathcal{O}(z^2).$$

Así que de hecho $f(z)-g(z)$ está acotado y es analítico en la franja, y por tanto en todo el plano complejo. Por el teorema de Liouville, $f(z)-g(z) = f(0)-g(0)=0$ así que $f(z) = g(z).$