¿Hay interpretaciones de ZF o ZFC que no son estándar en el sentido de que$\epsilon$ se interpreta de una manera intuitiva contador que intuitivamente no tiene nada que ver con "pertenece a" o "es parte de" (aparte de modelar formalmente a la axiomas de ZFC)?
Respuestas
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Esto puede deberse a lo largo de las líneas de lo que busca, a pesar de que es sólo un modelo para$ZF$ menos el axioma del infinito. Definir un binario relación$\in_{\Bbb N}$ en el conjunto de los enteros no negativos$\Bbb N$ en$$\forall k,n\in\Bbb N\;\Big(k\in_{\Bbb N}n\Longleftrightarrow\text{the }k\text{-th binary digit of }n\text{ is nonzero}\Big)$ $ Then$(\Bbb N,\in_{\Bbb N})$ satisface todos los axiomas de la$ZF$, excepto para el axioma del infinito.
DanV
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Existe una noción de "modelo estándar" de $\sf ZFC$. Pero para eso primero tenemos que entender dos cosas:
Desde la teoría de conjuntos incluye intrínsecamente infinito de objetos, no hay ninguna "interpretación natural" para la teoría de conjuntos, como la hay para los axiomas de Peano, o como la que hemos desarrollado para $\Bbb R$ durante todos estos años. Hay una buena razón para llamar el modelo "estándar", y vamos a llegar a eso más adelante.
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Ya que queremos hablar acerca de los modelos de la teoría de conjuntos, necesitamos tener alguna idea de establecer en primer lugar, de lo contrario, no podemos realmente hablar de modelos. Así que vamos a asumir, para trabajar dentro de $\sf ZFC$. ¿Cómo podemos trabajar dentro de $\sf ZFC$ sin tener un modelo de $\sf ZFC$ primero? Podemos dar por sentado que hay algunos grandes universo de los conjuntos que sucede a obedecer las leyes de $\sf ZFC$; o podemos decir que estamos realmente escribir definiciones y pruebas, y que realmente funciona en algunos débiles fundacional de la teoría, y lo que realmente estamos demostrando es que $\sf ZFC$ demuestra que tal y tal es la verdad y que nos diga que tal y tal definición se llama un "modelo estándar".
Sí. Este es un gran problema para tragar de un bocado. Si usted se siente incómodo con esta idea, entonces usted puede ser que desee tomar un año o dos para el estudio de la teoría de conjuntos en serio, y el estudio de la lógica más en serio, y en algún punto de este problema se resuelve por sí mismo (como lo hacen la mayoría de los problemas en matemáticas: resolver por sí mismos después de estudio suficiente).
Así que estamos trabajando dentro de un universo de conjuntos, que pasó a satisfacer $\sf ZFC$, o algunos relacionados con la teoría. Esto significa que ya tenemos una noción de $\in$. El que viene con el universo de los conjuntos. Llamamos a este universo $V$.
Así, un modelo de $\sf ZFC$ es un conjunto $M$,$V$, y algunos binario relación $E$$M$, de tal manera que $(M,E)$ satisfacen todos los axiomas de la $\sf ZFC$.
Ahora podemos preguntar, si hay un $M$ tal que $(M,\in)$ (en cuyo caso me refiero realmente a $\in\restriction(M\times M)$) es un modelo de $\sf ZFC$. Podría ser cierto que tal conjunto existe, o podría ser falso. Esto dependerá de $V$. Como fue mencionado por otros, $V$ podría ser que no haya modelos de $\sf ZFC$. Ya que si pudiéramos demostrar que no siempre es el modelo, $\sf ZFC$ demostrar su propia consistencia, que sabemos que no se puede.
Si tal $M$ existe, que $(M,\in)$ es un modelo de $\sf ZFC$, a continuación, por el colapso de Mostowski lema, podemos "colapso", y obtener un conjunto transitivo, es decir, cada elemento de a $M$ será un subconjunto de a $M$. Y esto significa que $M$ realmente percibe la noción de $\in$ como lo hace el universo. Y en ese caso decimos que $M$ es un modelo estándar de $\sf ZFC$.
Y puesto que hay modelos estándar, que no son estándar en los modelos. Cualquier modelo que no es isomorfo a un modelo estándar se denomina no-estándar. La cosa extraña acerca de la no-estándar de los modelos es que nunca son bien fundada (de lo contrario el colapso de Mostowski lema nos permitiría ellos isomorfo a un modelo estándar). Esto significa que si $(M,E)$ es un no-modelo estándar, entonces hay una secuencia $X=\{x_n\mid n\in\Bbb N\}$ de los elementos de la $M$, de tal manera que $x_{n+1}\mathrel E x_n$. Cómo hace que se sientan bien con el hecho de que $M$ satisface el axioma de fundación? Bien, $M$ es consciente de la existencia de cada una de las $x_n$'s por separado, pero no conoce la colección completa de la $x_n$'s. Es decir, no existe en $M$ que representa a $X$, o en otras palabras, no es $Y\in M$ tal que $X=\{y\in M\mid y\mathrel E Y\}$.
No estándar de los modelos pueden ser fácilmente obtenida a partir de cualquier modelo tomando ultrapowers o mediante el uso de compacidad. Por otro lado, es posible que no hay modelos estándar, sólo los modelos estándar, como es posible que no existen modelos.
Entonces, ¿sería un contra-intuitiva interpretación de $\sf ZFC$? Yo diría que no-modelo estándar sería. Como resultado, esto significa que cualquier interpretación que no sabe de modelos de $\sf ZFC$ es también no-estándar (desde la declaración de "No es un modelo de $\sf ZFC$" puede ser traducido a una declaración acerca de los números de Gödel, que es absoluta entre los modelos estándar, de modo que si una norma existe un modelo, se debe saber acerca de los modelos de $\sf ZFC$ sí).
Hay mucho más que decir acerca de estas cosas. Hay puntos delicados, y las dificultades comunes que asumen son verdaderas, pero no tiene que ser. Y hay maneras de conseguir alrededor de ellos. El estándar de interpretaciones, si es así, serían aquellos que no tienen estos problemas (o al menos no la mayoría de ellos).
Una adición importante que yo todavía me gustaría hacer, es que, dado cualquier modelo de $\sf ZFC$, podemos trabajar internamente para ese modelo, y ahora que modelo es nuestro universo, y podemos hacer lo que $\sf ZFC$ resulta posible dentro de ese modelo. Tan filosóficamente, puede ver las matemáticas como algo en un fijo en el universo de la teoría de conjuntos, o un fijo universo de las matemáticas, o se puede ver que la teoría de conjuntos como algo que tiene muchos universos diferentes, que son diferentes de los modelos de la teoría de conjuntos en universos grandes (que pueden, ellos mismos, de ser modelos de incluso universos grandes y así sucesivamente).
iturki
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"se interpreta en un contador de manera intuitiva que intuitivamente no tiene nada que ver con que "pertenece" o "es parte de""
El principal problema que tengo con lo que usted escribió es que usted está suponiendo que no sabes que el significado intuitivo de $\in$ es. Lo que usted escribió parecen sugerir que usted ya sabe lo que "pertenece" o "es parte de" es realmente suponga que significa eso? Usted está asumiendo cada vez que usted realice las matemáticas que se viven en algunos universo particular de la teoría de conjuntos. Como no podemos probar que existen los modelos de la teoría de conjuntos, una buena pregunta es si existe algún significado natural para que "pertenece".
La confusión es cuando fue exactamente lo que usted defina $\in$. Considere dos símbolos comunes, $\emptyset$$\{\emptyset\}$. En común la práctica de las matemáticas, los corchetes parece sugerir que $\emptyset \in \{\emptyset\}$. Sin embargo, ¿por qué debería ser? Si aún no hemos definido $\in$, $\emptyset$ y $\{\emptyset\}$ son a priori sólo dos símbolos. Hemos definido que $\emptyset \in \{\emptyset\}$, ya sea de manera formal o por la definición de la convención de uso de los corchetes. De nuevo lo mismo para ¿por qué debería de $3 \in \mathbb{N}$ ser cierto. Antes de trabajar en el modelo actual de la teoría de conjuntos, dependiendo de sus definiciones, $3 \in \mathbb{N}$ pero en realidad no saben lo $3$ o $\mathbb{N}$ son en realidad así que, ¿cómo podría llegar a la conclusión de que es natural que $3$ pertenece a $\mathbb{N}$.
No estoy seguro de si el ejemplo es claro en absoluto, pero yo estaba tratando de transmitir que pertenece no es un concepto absoluto. Su mano, naturalmente, pueden pertenecer a su cuerpo, pero para objetos abstractos en matemáticas $3$ pertenece a $\mathbb{N}$ no es natural sino una consecuencia de cómo exactamente se construye $3$$\mathbb{N}$.
Sin embargo, en relación a un fijo de los modelos de la teoría de conjuntos, la idea de un no estándar de la definición de $\in$, tiene sentido. Deje $(M, \in)$ ser un modelo fijo de la teoría de conjuntos. Cualquier (clase adecuada) binario relación $E$ con una adecuada subclase $N$ $M$ va a definir otro $\in$-estructura denotado $(N,E)$. Si $E \neq \in \upharpoonright N$, entonces (importante), desde el punto de vista de $(M,\in)$, $(N, E)$ tiene un no estándar $\in$-relación. Estos de vez en cuando surgen en la teoría de conjuntos en la permutación de los modelos y ultrapowers del universo por ultrafilters. Cabe señalar que si $(N,E)$ es tal que $E$ está bien fundada, a continuación, $(N,E)$ es isomorfo a un $(N', \in)$ donde $\in$ es el mismo que en el $M$. Sin embargo $E$ no necesita a bien fundada, por ejemplo, esto sucede cuando usted toma ultrapowers por ultrafilters que no $\sigma$-completa.
jmans
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Uno debe interpretar a su pregunta con cuidado. Aquí está una manera que da una especial carente de imaginación respuesta a su pregunta. Supongamos que $M$ es un modelo de la teoría de conjuntos (cualquier axiomatization te gusta). Supongamos, además, que en ella $\in$ tiene su significado usual (como se quiera interpretar).
Ahora, tomar cualquier otro conjunto $X$ con un bijection $M\to X$. Ahora puedes usar el que bijection para reinterpretar los axiomas de la teoría de conjuntos y obtener ese $X$ es también un modelo. Por supuesto, $X$ no se parece en nada a $M$ $\in$ no se parece en nada pertenencia real. Sólo se comportan como uno solo.
En resumen, usando el truco muy simple de cambiar los nombres de los elementos en un conjunto, en el modelo de la teoría de conjuntos puede ser convertido en uno donde la membresía es realmente extraño cuando usted mira a los elementos, sin embargo, se comporta perfectamente bien. Espero que esto está en línea con lo que están pidiendo.
