Una pregunta sobre la contractibilidad del espacio de Sierpinski

Question

El espacio de Sierpinski de dos puntos suele definirse como sigue:

Dejemos que $X =\{x,y\}$ sea el espacio de dos puntos donde los únicos conjuntos abiertos son $X, \varnothing, \{x\}$ . Creo que de esto se puede deducir que $X, \varnothing, \{y\}$ están cerradas, ¿correcto? Entonces esta información se puede utilizar para demostrar que $X$ está de hecho conectado. Creo que también puedes demostrar que está conectado por un camino; un camino desde $0$ a $1$ en $X$ viene dada por la función $f(0) = 0$ y $f(t) = 1$ para $t > 0$ . La función $f : I X$ es continua ya que $f^{1}(1) = (0,1]$ que está abierto en $I$ . Ahora sé que un espacio $Y$ es contraíble siempre que tengamos id $_Y \simeq e_{y_0}$ es decir, el mapa de identidad de $Y$ es homotópico al mapa constante $e_{y_0}$ (definición de ser nulhomotópico). Mi pregunta es cómo se puede demostrar que el espacio de Sierpinski de dos puntos es contractible. ¿No requiere eso simplemente "ajustar" la función $f$ que se utilizó para demostrar que $X$ ¿está el camino conectado? Además, recordemos que un espacio es contráctil siempre que esté conectado por un camino y sea simplemente conectado. ¿Cómo sería este planteamiento?

Answer 1

La forma más fácil es probablemente encontrar una homotopía de trabajo entre el mapa de identidad y una función constante.

Considere el mapa $H:X\times [0,1]\to X$ definido por $$H:X\times [0,1]\ni(z,t)\longmapsto\begin{cases}z &\text{ if }t=0,\\ x&\text{ if }t>0.\end{cases}$$ Ahora, $H^{-1}(\{x\})=\{(x,0)\}\cup X\times (0,1]=\big(\{x\}\times [0,1]\big)\cup \big(\{y\}\times (0,1]\big)$ que es un subconjunto abierto de $X\times [0,1]$ como su complemento en $X\times [0,1]$ es $\{y\}\times \{0\}\subseteq_\text{closed} X\times [0,1]$ .

Esto demuestra que $H$  es continua. Además, como $H(z,0)=\mathrm{id}_{X}(z)$ y $H(z,1)=e_{x}(z)$ para todos $z\in X$ entonces esto demuestra que $H:\mathrm{id}_{X}\cong e_{x}$ .