Álgebras de la Mónada del medio ambiente

Question

¿Cuáles son las álgebras de el medio ambiente mónada $-^E$$\mathbf{Set}$?

De manera abstracta, veo que un álgebra de $-^E$ es un conjunto $X$ con una operación $f : X^E \to X$ que obedece a dos leyes: una "idempotence la ley", $f(x, x, …) = x$, y una "diagonal de la ley" $$f(f(x^1_1, x^1_2, …), f(x^2_1, x^2_2, …), …) = f(x^1_1, x^2_2, …)$$ La libre álgebra es $X = Y^E$ con la diagonal de la función $f : Y^{E \times E} \to Y^E$. Para cualquier $X$, $i$th proyección es otro ejemplo. Eso es todo lo que tengo hasta ahora.

Es allí una manera más natural para describir estas cosas?

Edit. El entorno de la mónada ("Lector" funcional a los programadores) consiste en el functor $A \mapsto A^E$, con una unidad de $\eta_A : A \to A^E$ dado por la constante de funciones, es decir, alarmada la proyección de $\pi_1 : A \times E \to A$, y el unirse a $\mu_A : A^{E \times E} \to A^E$ dado por la composición con la diagonal de la función $\Delta : E \to E \times E$.

También, voy a ver ahora cómo generalizar mis dos ejemplos un poco. Deje $X = Y^A$ algunas $A$, e decir $g : A \to A \times E$ viajes con la proyección y diagonal: $$\pi_1 \circ g = 1_A$$ $$(1_A \times \Delta) \circ g = (g \times 1_E) \circ g$$ (Lo siento, no sé cómo hacer diagramas de aquí.) Entonces podemos definir el $f : Y^{A \times E} \to Y^A$ por composición con $g$. Los dos ejemplos que mencioné antes son los casos especiales en que $g = \Delta$ o $g : 1 \to 1 \times E$ selecciona un elemento de $E$.

Answer 1

La mejor manera de entender el álgebra de operadores para una mónada es encontrar una contigüidad cuya inducida por la mónada es (isomorfo a) el que empezó. En este caso, se puede comprobar que la contigüidad $$E^* \dashv \Pi_E : \mathbf{Set}_{/ E} \to \mathbf{Set}$$ ha inducido la mónada (isomorfo a) el "medio ambiente" mónada $(-)^E$. Por desgracia, esta contigüidad no es monádico en general – de hecho, el producto que dependen de la functor $\Pi_E : \mathbf{Set}_{/ E} \to \mathbf{Set}$ no es siempre fiel. Sin embargo, esto sugiere que las álgebras de $(-)^E$ debe tener algo que ver con "conjuntos de $E$", o más claramente, $E$-indexada familias de conjuntos.

Deje $X$ $E$- familia indizada de conjuntos. A continuación,$\Pi_E X = \prod_{e \in E} X_e$, y esto tiene un canónica $(-)^E$-álgebra de la estructura, es decir, $(\Pi_E X)^E \to \Pi_E X$ definido por $s \mapsto (e \mapsto s (e) (e))$. (Tenga en cuenta que si $s \in (\Pi_E X)^E$,$s (e) \in \Pi_E X$, así que tiene sentido escribir $s (e) (e)$, y es un elemento de $X_e$ según se requiera.) Por lo tanto podemos decir que un $(-)^E$-álgebra es un generalizada de la función en $E$ – tan generalizada de que en realidad no podemos evaluar!

Bueno, todavía podemos intentar. Supongamos $A$ $(-)^E$- álgebra, por ejemplo, con la acción $\alpha : A^E \to A$. Definir un $E$-familia indizada de conjuntos de $X$ como sigue: $X_e$ es el cociente de $A$ por la menor relación de equivalencia que identifica a $\alpha (f)$ $f (e)$ por cada $f \in A^E$. Esta $X$ tiene la siguiente característica universal: para cualquier $E$-familia indizada de conjuntos de $Y$, existe un natural bijection entre el $E$indexados en los mapas de $X \to Y$ $(-)^E$- álgebra homomorphisms $A \to \Pi_E Y$. En particular, hay un canónica homomorphism $A \to \Pi_E X$ (correspondiente a $\mathrm{id} : X \to X$), lo que uno puede pensar como el envío de un elemento de $A$ a la "mejor aproximación" por una función en $E$.

Es probablemente lo más instructivo mirar el siguiente ejemplo. Deje $E \times (-)$ ser el comonad con counit $E \times X \to X$ definido por la proyección y comultiplication $E \times X \to E \times E \times X$ inducida por la diagonal de $E$. ¿Cuáles son los coalgebras de $E \times (-)$?

Answer 2

La observación básica es que para cada conjunto de $E$ el comonoid estructura $\Delta \colon E \to E \times E$ y $\epsilon \colon E \to *$, donde $\Delta$ es el morfismo diagonal y $\epsilon$ es el único morfismo de $E$ al objeto terminal (esta también es la estructura de comonoid único que puede plantearse en un conjunto).

Ahora aplicando yoneda incrustar $y \colon \mathbf {Set} \to [\mathbf{Set},\mathbf{Set}]$ a tal monoid conseguimos un monoid en $ [\mathbf {Set},\mathbf {Set}]$ que da exactamente la estructura de la Mónada (por supuesto tienes que usar el hecho de que ${{-}^E}^E\cong{-}^{E \times E}$).