¿Por qué son álgebras de Lie objetos "rígidos"?

Question

Leí la siguiente motivación para grupos cuánticos en la wikipedia:

El descubrimiento de grupos cuánticos fue bastante inesperado, ya que fue conocido durante mucho tiempo que compactos grupos y álgebras de Lie semisimple son objetos "rígidos", en otras palabras, que no pueden "deformarse".

¿Por qué? ¿Uno podría señalarme hacia los teoremas interesados?

Answer 1

He aquí una expresión algebraica enfoque a las deformaciones:

Definición. Deje $({\mathfrak g},[-,-])$ ser finito-dimensional Mentira álgebra sobre un campo ${\mathbb k}$. Un deformaciones infinitesimales (de orden $2$) ${\mathfrak g}$ ${\mathbb k}[t]/(t^2)$- Mentira álgebra estructura en ${\mathfrak g}\otimes_{\mathbb k} {\mathbb k}[t]/(t^2)$ la restricción de a ${\mathfrak g}$ tras la aniquilación de la $t$.

En otras palabras, buscamos Mentira corchetes $\widetilde{[-,-]}$ ${\mathfrak g}\otimes_{\mathbb k} {\mathbb k}[t]/(t^2)$ que tienen la forma $$(\ddagger)\qquad\widetilde{[X,Y]_\psi}\ \ =\ \ [X,Y] + t\psi(X,Y)\quad\text{ for some }\quad \psi: {\mathfrak g}\otimes_{\mathbb k}{\mathfrak g}\to{\mathfrak g};$$ however, not any such $\psi$ producirá una Mentira álgebra de la estructura, dado que la validez de antisymmetry y la identidad de Jacobi se ponen restricciones en - ver más abajo.

Tenga en cuenta que siempre existe la constante de deformación dada por la ${\mathbb k}[t]/(t^2)$-extensión lineal de $$\widetilde{[X,Y]}_\text{triv}\quad:=\quad [X,Y]\quad\text{ for }\quad X,Y\in{\mathfrak g}.$$

Definición. Una de morfismos de deformaciones infinitesimales $$({\mathfrak g}\otimes_{\mathbb k}{\mathbb k}[t]/(t^2),\widetilde{[-,-]})\to ({\mathfrak g}\otimes_{\mathbb k}{\mathbb k}[t]/(t^2),\widehat{[-,-]})$$ is a homomorphism of ${\mathbb k}[t]/(t^2)$-Lie algebras restricting to the identity on ${\mathfrak g}$ upon annihilating $t$.

En particular, llame a un deformaciones infinitesimales trivial si es isomorfo a la constante de deformación.

Teorema: Cualquier deformaciones infinitesimales de un semisimple Mentira álgebra es trivial.

Esto se deduce de la Mentira álgebra cohomology una vez que uno ha hecho las anteriores nociones más explícito.

1. Un bilineal mapa de $\psi: {\mathfrak g}\otimes_{\mathbb k}{\mathfrak g}\to{\mathfrak g}$ da lugar a una Mentira álgebra estructura en ${\mathfrak g}\otimes_{\mathbb k}{\mathbb k}[t]/(t^2)$ través $(\ddagger)$ si y sólo si a es antisimétrica y un $2$-cocycle en el Cartan-Eilenberg complejo cálculo de la Mentira álgebra cohomology $\text{H}^{\ast}({\mathfrak g};({\mathfrak g},\text{ad}))$ de los adjuntos de la representación.

2. Un isomorfismo de deformaciones entre la constante de deformación y $({\mathfrak g}\otimes_{\mathbb k}{\mathbb k}[t]/(t^2),\widetilde{[-,-]}_\psi)$ tiene la forma $X\mapsto X + t\varphi(X)$ algunos $\varphi: {\mathfrak g}\to{\mathfrak g}$, y este morfismos de ser compatible con el soporte resulta ser equivalente a $\psi=\text{d}\varphi$ en el Chevalley-Eilenberg complejo.

Por lo tanto, si $\text{H}^2({\mathfrak g};({\mathfrak g},\text{ad}))=0$, cualquier deformaciones infinitesimales es trivial. Para semisimple álgebras de Lie, este es el caso, por el siguiente

Teorema (Whitehead). Si ${\mathfrak g}$ es semisimple, entonces $\text{H}^2({\mathfrak g};V)=0$ para todos los f.d. representaciones de $V$${\mathfrak g}$.