Cociente de variedades

Question

Tengo una variedad $V$ dada por las ecuaciones polinómicas. Estas ecuaciones admiten mucha simetría. Esto significa que hay muchos automorfismos en $V$ . Quiero deshacerme de esta simetría. Así que de alguna manera quiero formar una variedad de cociente.

Sin embargo, buscar en Google la variedad de cociente no me da lo que yo que estoy buscando. Encontré artículos sobre la teoría de la invariante geométrica y leí que las variedades de cociente no tienen por qué existir en general y yo estoy algo preguntándome si es posible en mi caso.

Para dar una pista de cómo se ve mi problema considera la curva proyectiva (hipérbola) $C:XY+Z$ . Hay un isomorfismo $ \phi :(x,y,z) \mapsto (y,x,z)$ . ¿Esto es ? es posible modificar este isomorfismo. Estoy pensando en esto como teniendo una variedad $V$ de tal manera que hay un mapa surjectivo $C \to V$ donde dos puntos en $C$ tienen la misma imagen si están mapeadas una a la otra por $ \phi $ .

¿Es esto posible? ¿Cómo puedo calcular ecuaciones para $V$ . ¿Cuál es la teoría general? Además, si esto no es posible, ¿puedo encontrar tal $V$ tener esta propiedad pero tal vez no sea una variedad sino algún otro objeto (digamos que tal vez es posible que sea forman cocientes como estos si permitimos esquemas generales)?

EDITORIAL: Ok, así que busqué el ejemplo 11 y de hecho es lo que quiero. Pero sólo cubre media página. La definición es a través de los campos de función asociados. ¿Qué hay del aspecto computacional. ¿Puede alguien indicarme una referencia donde se explique cómo se calculan las propiedades de la variedad de cociente? Por ejemplo, dimensión, definición de ecuaciones, etc..

Answer 1

Si $V$ es una variedad casi proyectiva y $G$ es un grupo finito que actúa en $V$ Entonces el cociente $V/G$ existe. La idea es la siguiente: porque $V$ es cuasi-proyecto, cualquier subconjunto finito de $V$ se encuentra en un abierto afín, por lo tanto cada $G$ -La órbita se encuentra en una abertura afín. Ahora un pequeño argumento muestra que $V$ pueden estar cubiertos por $G$ - la variante afín se abre. Para cada uno $G$ -invariante afín abierto $U$ construiremos el cociente $U/G$ y luego pegarlas para formar $V/G$ .

Si $U =$ Spec $A$ entonces el $G$ -acción sobre $U$ da un $G$ -acción sobre $A$ y por definición $U/G =$ Spec $A^G$ donde $A^G$ es la subrúbrica de $G$ -elementos invariables en $A$ .

Así que para calcular $V/G$ tienes que (a) encontrar una cubierta por $G$ -invariante $U$ Esto no debería ser muy difícil si su variedad $V$ tu grupo $G$ y tu $G$ -acción sobre $V$ son explícitos; b) computar los varios $G$ -invariantes $A^G$ --- esta es probablemente la parte más difícil, aunque Me imagino que el software adecuado puede manejarlo en casos que no sean demasiado complicados; c) pegar las diversas Spec $A^G$ es fácil en principio, aunque significa que terminas con $V/G$ descrito de una manera un tanto abstracta; mientras que $V/G$ será de nuevo cuasiproyecto, no se ve esto directamente desde este procedimiento de pegado.

Por cierto, la dimensión de $V/G$ será el mismo que el de $V$ (porque $G$ es finito). Para cosas como las singularidades, la descripción de $V$ al pegar no es tan malo, ya que se puede comprobar lo que está sucediendo en un afín abierto a la vez.