Engelking lo tiene como parte de un ejercicio (5.5.8) con pistas; he añadido algunos detalles.
Supongamos que $X$ es Čech-completo, $Y$ es paracompacto, y $f:X\to Y$ es una suryección abierta continua. Demostramos en primer lugar que existe una $G_\delta$ -Configurar $A \subseteq X$ tal que $f\upharpoonright A$ es un mapa perfecto de $A$ en $Y$ . (Un mapa perfecto es un mapa continuo y cerrado con fibras compactas). $F:\beta X \to \beta Y$ sea la extensión de Čech-Stone de $f$ . Sea $Z = F^{-1}[Y]$ y que $g = F\upharpoonright Z$ claramente $g$ es perfecto. Supongamos que $G$ es un subconjunto abierto de $Z$ tal que $f[G \cap X] = Y$ .
Reclamación: Hay un subconjunto abierto $H$ de $Z$ tal que $f[H \cap X] = Y$ y $\operatorname{cl}_ZH \subseteq G$ .
Prueba de reclamación: Para cada $y \in Y$ dejar $V(y)$ sea un conjunto abierto en $Z$ tal que $f^{-1}[\{y\}] \cap V(y) \ne \varnothing$ y $\operatorname{cl}_ZV(y) \subseteq G$ . Sea $\mathscr{U}$ sea un refinamiento abierto localmente finito de la cubierta abierta $\{f[V(y) \cap X]:y \in Y\}$ del espacio paracompacto $Y$ . Para cada $U \in \mathscr{U}$ elija un punto $y_U \in Y$ tal que $U \subseteq f[V(y_U) \cap X]$ y que $$H = \bigcup\limits_{U \in \mathscr{U}} \left(V(y_U) \cap g^{-1}[U]\right).$$ Claramente $H$ está abierto en $Z$ . Dado $y \in Y$ , arreglar $U \in \mathscr{U}$ tal que $y \in U$ . Entonces $y \in f[V(y_U) \cap X]$ , por lo que podemos elegir $x \in V(y_U) \cap X$ tal que $y = f(x)$ . Pero entonces $g(x) = F(x) = f(x) = y \in U$ Así que $x \in V(y_U) \cap g^{-1}[U] \cap X \subseteq H \cap X$ y $y \in f[H \cap X]$ . Sólo queda demostrar que $\operatorname{cl}_ZH \subseteq G$ .
Para cada $U \in \mathscr{U}$ dejar $W_U = V(y_U) \cap g^{-1}[U]$ y que $\mathscr{W} = \{W_U:U \in \mathscr{U}\}$ para que $H = \bigcup \mathscr{W}$ . Para cada $U \in \mathscr{U}$ tenemos $\operatorname{cl}_ZW_U \subseteq \operatorname{cl}_ZV(y_U) \subseteq G$ . Supongamos que $z \in Z \setminus \bigcup\limits_{U \in \mathscr{U}}\operatorname{cl}_ZW_U$ . $\mathscr{U}$ es localmente finito, por lo que $g(z)$ tiene un nbhd abierto $N$ que sólo se encuentra con un número finito de miembros de $\mathscr{U}$ . Entonces $g^{-1}[N]$ es un $Z$ -abrir nbhd de $z$ que sólo se encuentra con un número finito de miembros de $\mathscr{W}$ . $Z$ es regular, por lo que $g^{-1}[N]$ puede reducirse a un $Z$ -abrir nbhd de $z$ disjuntos de $\bigcup\limits_{U\in\mathscr{U}}\operatorname{cl}_ZW_U \supseteq H$ y por lo tanto $z \notin \operatorname{cl}_ZH$ . Así, $\operatorname{cl}_ZH = \bigcup\limits_{U\in \mathscr{U}}\operatorname{cl}_ZW_U \subseteq$ $G$ . $\dashv$
Ahora, porque $X$ es $X$ es Čech-completo, es un $G_\delta$ en $\beta X$ y por lo tanto en $Z$ por lo que podemos escribir $X = \bigcap\limits_{n\in\omega}G_n$ donde cada $G_n$ está abierto en $Z$ . Sea $H_0 = Z$ y para $n\in\omega$ dejar $H_{n+1}$ sea un subconjunto abierto de $Z$ tal que $\operatorname{cl}_ZH_{n+1} \subseteq G_n \cap H_n$ y $f[H_{n+1} \cap X] = Y$ La Reclamación garantiza que esto sea posible. Dejemos que $A = \bigcap\limits_{n\in\omega}H_n = \bigcap\limits_{n\in\omega}\operatorname{cl}_ZH_n$ claramente $A$ es un lugar cerrado $G_\delta$ -encargado en $X$ . $A$ también está cerrado en $Z$ Así que $f\upharpoonright A = g\upharpoonright A$ es perfecto. Por último, supongamos que $y \in Y$ . Para cada $n \in \omega$ dejar $K_n = \operatorname{cl}_ZH_n \cap X \cap f^{-1}[\{y\}] \ne \varnothing$ . Entonces $\{K_n:n \in \omega\}$ es un nido decreciente de subconjuntos cerrados del conjunto compacto $f^{-1}[\{y\}]$ por lo que su intersección es un subconjunto no vacío de $A$ y por lo tanto $y \in f[A]$ .
Ahora $\operatorname{cl}_{\beta X}A = \beta A$ y $f_0 \triangleq f\upharpoonright A$ es perfecto, así que $F_0 \triangleq F\upharpoonright \operatorname{cl}_{\beta X}A$ cumple la condición $$F_0[\operatorname{cl}_{\beta X}A\setminus A] \subseteq \beta Y \setminus Y.\tag{1}$$ Este es un resultado estándar, así que me limitaré a esbozar el argumento. Sea $Z_0 = F_0^{-1}[Y]$ Entonces $F_0\upharpoonright Z_0$ es una extensión continua de $f_0$ con el mismo rango, por lo que $f_0 = F_0 \circ id_A$ . Dado que la composición $F_0 \circ id_A$ es perfecto, $id_A:A\to Z_0$ debe ser perfecto. (Esto requiere un poco de argumentación, que puedo suministrar si es necesario.) Se deduce que $A = id_A[A]$ es un subconjunto cerrado de $Z_0$ . Pero $A$ es denso en $\operatorname{cl}_{\beta X}A \supseteq Z_0$ , por lo que debemos tener $Z_0 = A$ lo que implica inmediatamente $(1)$ .
$A$ es un subconjunto cerrado del espacio Čech-completo $X$ Así que $A$ es Čech-completo y por lo tanto es un $G_\delta$ -encargado en $\beta A = \operatorname{cl}_{\beta X}A$ . Por supuesto $\beta A \setminus A$ es un $F_\sigma$ -encargado en $\beta A$ por lo que podemos escribir $\beta A \setminus A = \bigcup\limits_{n \in \omega}C_n$ donde cada $C_n$ está cerrado en $\beta A$ . $F_0$ es perfecto y, por tanto, cerrado, por lo que los conjuntos $F_0[C_n]$ se cierran en $\beta Y$ y $(1)$ garantiza que $F_0[C_n] \subseteq \beta Y \setminus Y$ para cada $n \in \omega$ . $F_0[A] = Y$ Así que, de hecho $\beta A \setminus A = \bigcup\limits_{n\in\omega}F_0[C_n]$ es un $F_\sigma$ -encargado en $\beta Y$ y por lo tanto $Y$ es Čech-completo.
