Famoso fue demostrado por Carter que la métrica de Kerr posee una constante 4 no evidente de la propuesta, derivada de la separación del hamiltoniano. Esta constante está relacionada con un tensor de la matanza.
Mi pregunta es, ¿es posible mostrar apriori la existencia y el valor de dicho tensor de matanza de la métrica de Kerr, antes de considerar la separación del hamiltoniano?
El Asesinato del tensor se define como un tensor simétrico $K_{\alpha \beta}$ cuyo total de simetrización de la covariante gradiente se desvanece $$K_{(\alpha \beta;\gamma)} = K_{\alpha \beta;\gamma} + K_{ \beta\gamma;\alpha}+ K_{\gamma \alpha;\beta}= 0$$ Esto puede ser visto como un orden superior de la generalización de la Matanza de vectores $\xi_\mu$ y el Asesinato ecuación que dice que la simetrización de su covariante gradiente se desvanece $$\xi_{(\mu;\nu)} = \frac{1}{2}(\xi_{\mu;\nu} + \xi_{\nu;\mu})=0$$ En especial las coordenadas donde $\xi_\mu$ es tangente a las líneas de algunos coordinar $X$, podemos demostrar que el Asesinato ecuación es equivalente a la exigencia de que la medida es independiente de $X$.
Las ecuaciones cumplido por Matar a un vector o un Asesinato tensor de "justo" homogénea lineal de ecuaciones diferenciales parciales con los no-constante de los coeficientes. I. e., podemos resolver directamente por la fuerza bruta. Considere el espacio de Minkowski-tiempo en coordenadas Cartesianas. Ahí tenemos el covariante gradiente de igual simplemente a la coordenada degradado y un ejemplo trivial cumplimiento de la Matanza ecuación es una constante en el vector de $\xi_\mu$. Del mismo modo, un ejemplo trivial de Matar a un tensor de Minkowski es cualquier constante simétrica del tensor $K_{\mu \nu}$. I. e., no necesitamos, en general, consideran la separación de la de Hamilton-Jacobi ecuación para obtener el tensor de la Matanza.
Por otro lado, en el caso de un general, la curvatura del espacio-tiempo (incluyendo Kerr), es prácticamente imposible encontrar soluciones analíticas para la Matanza-tensor de la ecuación por la fuerza bruta. Usted tiene el uso especial de técnicas algebraicas tales como la spinor técnicas utilizadas por Walker y Penrose en 1970 para derivar (o adivinar) el Asesinato de tensor sin referencia a la divisibilidad de las ecuaciones de movimiento. A la luz de estos procedimientos, no parece como tal un tramo de utilizar el de Hamilton-Jacobi ecuación indirectamente a buscar para Matar a un tensor.
Sin embargo, teniendo en cuenta sólo la separación de la de Hamilton-Jacobi ecuación de una geodésica no es un camino infalible para ver si el espacio-tiempo tiene una Matanza tensor o no. Se ha demostrado que el Hamilton-Jacobi ecuación separa a si y sólo si está en un conjunto especial de adaptarse coordenadas (Boyer-Lindquist y similares en Kerr, me gusta la forma en que este es revisado por Chervonyii y Lunin). Si usted está en un conjunto genérico de coordenadas, su Hamilton-Jacobi ecuación no separar a pesar de tener una Matanza tensor.
Además, otra importante objeto, a menudo llamado la `raíz cuadrada" de la Matanza del tensor, la Matanza-Yano tensor, no se encuentra el de Hamilton-Jacobi método. La Matanza-Yano tensor de rango dos es un tensor antisimétrico $Y_{\alpha \beta}$ cuyo covariante de gradiente también es antisimétrica $$Y_{\alpha (\beta;\gamma)} = 0$$ Usted puede, a continuación, mostrar que $K_{\alpha \beta} = Y_{\alpha \gamma} Y^\gamma_{\;\; \beta}$ es Matar a un tensor. La existencia de la Matanza-Yano tensor implica la separación de la ecuación de Dirac en la curva de fondo. Esto significa que, en principio, puede evitar el Hamilton-Jacobi ecuación por el lugar buscando la Matanza-Yano tensor de la divisibilidad de la ecuación de Dirac, y ajustarlo para obtener el tensor de la Matanza. Sin embargo, la construcción de la ecuación de Dirac en la curva de fondo no es trivial.
Por lo tanto, todavía me parece que busca la separación constante de Hamilton-Jacobi ecuación de una geodésica es el más sencillo truco tratando de encontrar la Matanza del tensor.
Si usted está buscando más de una manera pragmática de simplemente leer de la Matanza del tensor de la métrica de Kerr y cualquier métrica con un tensor de la Matanza, la receta va como sigue.
Usted tiene que estar en coordenadas $\xi, \eta$ (además de las correspondientes a Matar-vector de direcciones) donde la inversa de la métrica de los componentes de adquirir la forma $$g^{\mu \nu} = \frac{1}{f_\xi(\xi) - f_\eta(\eta)} (X^{\mu \nu}(\xi) + Y^{\mu\nu}(\eta))\,,$$ donde $X^{\eta \nu} = Y^{\xi \nu}=0$. Se puede ver que la métrica de Kerr en Boyer-Lindquist coordenadas $r,\vartheta$ tiene exactamente esta propiedad.
Su Asesinato tensor entonces es $$K^{\mu\nu} = -\frac{f_\xi Y^{\mu \nu} + f_\eta X^{\mu \nu}}{f_\xi - f_\eta}$$ Esto puede ser verificado por la fuerza bruta de cálculo.
Sin embargo, la derivación de esta fórmula sería, una vez más más fácil, teniendo en cuenta el Hamilton-Jacobi ecuación debido a que estos $\xi$ $\eta$ son de nuevo las coordenadas en el que el HJ ecuación separa.
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