Si una secuencia crece demasiado rápido, entonces su suma armónica no puede ser racional

Question

Que $A = \{a_i\}_{i = 1}^{\infty}$ sea una secuencia de enteros positivos. ¿If los términos en $A$ crecen 'muy rápido', podemos determinar que $$S_A = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{a_i}$$ is irrational ? More formally, is there a criteria that says if $ a_i = \Omega(f(i)), $ then $S $ is irrational ? If not, for every sequence $A $ such that $ S_A $ converges to a rational number, can we find a sequence of positive integers $ese = \{b_i\}_{i = 1} ^ {\infty} $ tal que $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = 0 \ $$ and $ S_B$ también converge a un número racional?

Esta pregunta fue inspirada por el hecho siguiente:

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{(k!)^2}$ y $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{k^2}}$ son irracionales.

Answer 1

Un ejemplo que parece estar en la cúspide es Sylvester secuencia:

$$a_0 = 2, \,\,\, a_n = 1 + \prod_{k=0}^{n-1}a_k = 1+ a_{n-1}(a_{n-1} -1),$$

con la forma cerrada $a_n = \lfloor C^{2^{n+1}} + \frac{1}{2} \rfloor$ $C \approx 1.26$ y un doble tasa de crecimiento exponencial.

La suma es racional con

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{a_n} = 1,$$

desde entonces,

$$ \frac{1}{a_{n+1} - 1} = \frac{1}{a_n(a_n - 1)} = \frac{1}{a_n - 1} - \frac{1}{a_n}\\ \implies \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_n - 1} - \frac{1}{a_{n+1} - 1} $$

Anexo

Aunque ahora se elimina, el comentario a mi respuesta de @charMD citado teorema 3 en 128p de https://www.renyi.hu/~p_erdos/1963-18.pdf

donde se ha demostrado que si $a_{n+1} \geqslant 1 + a_n(a_n - 1)$ y estrictamente mayor para infinidad de $n$ $\sum(1/a_n)$ es irracional.

Answer 2

Adam Hughes esencialmente responde a la pregunta en los comentarios. Es decir, si $a_n>\exp(\prod_{i<n} a_i),$ entonces por el lema de Liouville, su suma es trascendental (por lo tanto, irracional), doblemente exponencial es suficiente. Sin embargo, desde todo lo que quieren es irracionalidad, puede aplicar la declaración real del lema de Liouville para eliminar el $\exp,$ y $a_n>(\prod_{i<n} a_i)^{(1+\epsilon)},$ $\epsilon > 0.$

Answer 3

Si un número es racional, es decir $\frac{p}{q}$,$\left|\frac{p}{q}-\frac{m}{n}\right|\geq\frac{1}{nq}$. De modo que la diferencia de cualquier prueba racional $\frac{m}{n}$ multiplicado por el denominador $n$ tiene que ser limitada, a menos que usted golpea su número en el clavo. Si nos encontramos con un aumento de la secuencia de los números racionales para que ese no es el caso, entonces el límite es irracional.

Así, suponiendo que la secuencia crece tan rápido como una serie geométrica (que es bastante razonable suposición de crecimiento), de modo que la suma puede ser estimado por el término siguiente, si usted tiene $\frac{\text{lcm}(a_1, \ldots a_n)}{a_{n+1}}\rightarrow0$$n\rightarrow\infty$, entonces la suma de $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{a_i}$ es irracional.

Estos cubren los dos casos en su pregunta, aunque ninguno de los dos es doblemente exponencial. Se muestra incluso que $e$ es irracional. Pero no acaba de responder a la pregunta. Lo hace, sin embargo, proporcionar un conjunto de $f(i)$'s que son lo suficientemente buenas. En concreto, se puede dejar a $f(i)$ ser una secuencia para que $f(i)^{1/2^i}$ aumenta a $\infty$. Porque si tenemos una secuencia de $a_i>f(i)$, entonces para cualquier $\epsilon$ tomamos el menor $i$ que $a_i>\left(\frac{1}{\epsilon}\right)^{2^{i-1}}$ que existe; entonces

$\frac{\text{lcm}(a_1,a_2,\ldots a_{i-1})}{a_i}<\frac{a_1a_2\ldots a_{i-1}}{a_i}<\frac{\left(\frac{1}{\epsilon}\right)^1\left(\frac{1}{\epsilon}\right)^2\ldots\left(\frac{1}{\epsilon}\right)^{2^{i-2}}}{\left(\frac{1}{\epsilon}\right)^{2^{i-1}}}=\epsilon$

Y esto es lo suficientemente bueno, porque sólo tenemos una larga de lo anterior que tienden a 0, no toda la secuencia. Así que para cualquier secuencia $u(i)$ aumentando hasta el infinito, $u(i)^{2^i}$ obras.