¿Qué es $\sum\limits_{n=0}^{\infty} r^{an^2 + bn + c}$? ¿o: es $0.0100100010000100001...$ trascendental?

Question

La idea es una forma más conveniente para $N = 0.01001000100001000001...$ % base $r$, que para demostrar si es trascendente.

Perdón por la brevedad.

Answer 1

Esto puede ser bajo el título de "Siegel E-funciones" o "Siegel G-funciones", para que trascendencia se conocen resultados.

Answer 2

Por supuesto $N$ es trascendental. [Dije que, no digo que puedo probarlo.] Se conjeturó que todos los números algebraicos irracionales son normales en todas las bases. Si esto no fuera trascendente, sería un contraejemplo espectacular a esa conjetura.

Answer 3

Aquí está una técnica para este tipo de suma (aunque esto no aborda la cuestión transcendentality) hace un tiempo encontré que implica funciones theta incompleta:

\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty} q^{an^{2}+2akn+ak^{2}+p} = q^{p}\left[\frac{\theta_{3}(0,q^{a})+1}{2} - \sum_{m=0}^{k-1} q^{am^{2}}\right] \end{equation}

por ejemplo:

\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{e^{7n^{2}+70n+173}} = e^{2}\left[\frac{\theta_{3}(0,1/e^{7})+1}{2} - \sum_{m=0}^{4} (1/e^{7})^{m^2}\right] \end{equation}

No estoy seguro funciona para arbitrario $a$, $b$ y $c$, aunque.