La teoría de conjuntos de hoy es una ciudad vibrante, área de investigación activa,
se caracteriza por una intensa obra fundamental tanto en el set
la teoría de las propias preguntas, que surgen de un profundo histórico
fuente de ideas, y también en la interacción de los
ideas con otros objetos matemáticos. Es fascinante y me gustaría animar a todo el mundo para aprender más sobre él.
Dado que el campo es simplemente demasiado grande para resumir fácilmente,
permítanme simplemente a describir algunos de los principales temas que
están estudiando activamente en la teoría de conjuntos en la actualidad.
Grandes
cardenales.
Estos son los fuertes los axiomas de infinitud, estudiado por primera vez por
Cantor, que a menudo generalizar propiedades verdaderas de $\omega$
en un contexto más amplio, mientras que proporciona una sólida jerarquía de
axiomas aumento en la consistencia de la fuerza. Gran cardenal
axiomas, a menudo expresan la combinatoria de los aspectos del infinito,
que tiene importantes consecuencias, incluso en la parte baja. Para dar
una profunda ejemplo, si no son lo suficientemente numerosos Woodin
los cardenales, a continuación, todos los conjuntos proyectivos de reales son Lebesgue
mensurables, un impactante pero muy bienvenida situación. Usted puede
reconocer algunas de las diversas gran cardenal
conceptos---inaccesible, Mahlo, débilmente compacto,
indescriptible, totalmente indescriptible, unfoldable, Ramsey,
medibles, alto, fuerte, fuerte, compacto, supercompact,
casi un enorme, enorme, y así sucesivamente---y de nuevo gran cardenal
los conceptos se introducen a menudo para un propósito en particular.
(Por ejemplo, en un trabajo reciente de Thomas Johnstone y me lo demostró
que un cierto forzamiento axioma era exactamente equiconsistent
con lo que hemos llamado la elevación de los cardenales.) Animo
siga el enlace de Wikipedia para más información.
Forzar.
El tema de la teoría de conjuntos que llegaron a la madurez con la
desarrollo de forzamiento, una técnica extremadamente flexible para
la construcción de nuevos modelos de la teoría de conjuntos a partir de modelos existentes.
Si uno tiene un modelo de la teoría de conjuntos $M$, se puede construir un
forzando la extensión de $M[G]$ mediante la adición de un nuevo elemento ideal $G$,
que va a ser un $M$-filtro genérico para forzar un concepto
$\mathbb{P}$ $M$ , similar a la de un campo de extensión en el sentido de
que cada objeto en $M[G]$ es edificable algebraicamente
de $G$ y los objetos en $M$. La interacción de un modelo de
la teoría de conjuntos con sus obligando a las extensiones proporciona un
muy rica, intensamente estudiados contexto matemático.
La Independencia Fenómeno. La inicial de los usos de forzar
se centraron en demostrar diversas independencia de los resultados, que
mostrar que una afirmación de la teoría de conjuntos no es ni demostrable ni
rebatible de la base de axiomas de ZFC. Por ejemplo, la
Hipótesis continua es famosa por ser independiente de ZFC, pero nos
ahora tenemos miles de ejemplos. Aunque ahora es la norma
para las declaraciones de infinita combinatoria a ser independiente,
el fenómeno es particularmente interesante cuando se muestra
que una declaración de fuera de la teoría de conjuntos es independiente,
y hay muchos ejemplos destacados.
Obligando A Los Axiomas. La primera obligando a los axiomas eran a menudo
visto como unificador de combinatoria afirmaciones que podrían ser
resultó consistente forzando y luego se aplica por
los investigadores con menos conocimientos de forzar. Por lo tanto, se
tendía a unificar gran parte de la fuerza de obligar de una manera que
era fácilmente empleadas fuera del campo. Por ejemplo, una
ve a aplicaciones de Martin
Axioma
realizado por topologists o algebraists. Dentro de los
la teoría, sin embargo, estos axiomas son un punto focal, visto como
expresan particularmente robusto colecciones de consecuencias,
y hay un intenso trabajo en varios axiomas y la búsqueda de
su gran cardenal de la fuerza.
Interior modelo
de la teoría.
Este es un enorme esfuerzo continuo para construir y comprender
la canónica fina-estructural interno de los modelos que pueden existir
para los grandes señores cardenales, a los análogos de Gödel de la
edificable universo $L$, pero que puede dar cabida a la gran
cardenales. La comprensión de estas interior de los modelos de las cantidades en un
el sentido de la capacidad para asumir el gran cardenal concepto
completamente aparte y, a continuación, ajuste juntos de nuevo. Estos
los modelos suelen proporcionar una poderosa herramienta para mostrar que
otro de los enunciados matemáticos tienen gran cardenal de la fuerza.
El cardenal características de la
continuum.
Este tema está relacionado con las diversas cardenal
características de un continuo, tales como el tamaño de la
más pequeño no Lebesgue medibles conjunto, la aditividad de la
null ideal o la cofinality de la orden de $\omega^\omega$
en virtud de la eventual dominación, y muchos otros. Estos cardenales
son todos iguales a la continuidad, según el cap, pero separado en
una rica jerarquía de las distintas nociones cuando CH falla.
Descriptivo conjunto
de la teoría.
Este es el estudio de los diversos complejidad de las jerarquías en la
el nivel de los reales y de los conjuntos de reales.
Borel relación de equivalencia
de la teoría.
Derivadas de descriptivo de la teoría de los conjuntos, este tema es un
emocionante relativamente reciente desarrollo en la teoría de conjuntos,
que proporciona un medio preciso para entender lo que de otro modo
podría ser simplemente un entendimiento informal de la comparativa
la dificultad de clasificación de problemas en matemáticas. El
la idea es que muchos de clasificación de los problemas que surgen en
el álgebra, el análisis de la topología o activar de forma natural a
corresponden a las relaciones de equivalencia en un estándar de Borel
espacio. Estas relaciones encajar en una jerarquía natural en virtud de
la noción de Borel reducibilidad, y este concepto proporciona
nosotros con una manera de decir que un problema de clasificación en
la matemática es al menos tan difícil como o estrictamente más que
otro. Los investigadores en esta área son profundamente conocedores
ambos acerca de la teoría de conjuntos y también sobre el tema en
que sus las relaciones de equivalencia surgir.
La filosofía de la teoría de conjuntos. Permítanme, por último, también
mencionar los emergentes tema conocido como la filosofía de conjunto
la teoría, que tiene que ver con algunas de las ideas filosóficas
las cuestiones que surjan en conjunto teórico de la investigación, especialmente en
el contexto de los grandes cardenales, tales como: ¿Cómo podemos decidir
cuando o si a adoptar nuevos axiomas matemáticos? ¿
significa decir que un enunciado matemático es verdadero? En
qué sentido tiene un modelo de los axiomas de
la teoría? Gran parte de la discusión en esta área entreteje
profundamente preocupaciones filosóficas con muy técnico
matemáticas relativas a características profundas de forzamiento, gran
cardenales y el interior del modelo de la teoría.
Observación. Veo en su respuesta a la pregunta vinculada
usted mencionó que no puede haber estado expuesto a mucho
la teoría de conjuntos en la universidad de Harvard, y esto me parece una lástima. Me gustaría
animo a buscar más allá de cualquier limitación de perspectivas que
puede haber encontrado, y usted va a descubrir el rico,
fascinante tema de la teoría de conjuntos. El estándar
el nivel de introducción de posgrado de los textos se Jech del libro
Teoría y Kanamori del libro Mayor Infinito, en gran
cardenales, y ambas son excepcionales.
Pido disculpas por esta demasiado larga respuesta...
