Trigonometría: Resolver $(1-\cos\alpha)^2 + \sin^2\alpha = d^2$ $\alpha$

Question

Mi siguiente paso en la aplicación de mi algoritmo en Java es el siguiente.

Es bastante difícil de explicar, pero sé lo que tengo. Tengo esta ecuación:

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Dado: d
Preguntó: $\alpha$

$$(1-\cos\alpha)^2 + \sin^2\alpha = d^2 $$

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Que yo "simplificado" para esto, el uso de esta fórmula:

$$2+2\cos\alpha+\frac{\cos2\alpha}{2}-\frac{\sin\alpha}{2} = d^2$$

Pero ahora, estoy atascado. Este es probablemente bastante fácil, pero tengo 15 años de edad en el momento. No veo que mucho de la trigonometría en la escuela.

Me pueden ayudar?

Answer 1

Hacer las manipulaciones siguientes: $$(1-\cos(\alpha))^2+\sin^2(\alpha)=d^2$ $ $$1-2\cos(\alpha)+\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=d^2$ $ $$1-2\cos(\alpha)+1=d^2$ $ $$2-2\cos(\alpha)=d^2$ $ $$\cos(\alpha)=1-\frac{d^2}{2}$ $ $$\alpha=\cos^{-1}\left(1-\frac{d^2}{2}\right)$ $

Answer 2

Una punta ligeramente más general que a veces digo a mis alumnos:

Si una ecuación contiene más de un función trig, sería agradable si había una manera de reescribirla utilizando sólo una de las funciones trigonométricas.

A veces fácil y a veces eso es duro. Pero si ves precisamente $\sin^2 \alpha$ o $\cos^2 \alpha$, son muy fáciles de escribir usando otra función trig.

(El % de identidad $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$es lejos la identidad trig más importante de todos ellos).

Answer 3

Sólo podría ampliar la Plaza... Sugerencia: $\left( 1-\cos \alpha \right)^2 + \sin ^2 \alpha = 1 - 2 \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha$, entonces recordemos que $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.