¿Cómo probar la fórmula de cofactor de determinantes, usando una definición diferente del determinante?

Question

Por lo tanto, estoy muy interesado en este teorema (de Laplace de expansión), pero todavía soy un estudiante de la escuela secundaria. Tengo cuatro libros acerca de las matrices, pero sólo uno de ellos tiene proo y que no empiece con mi definición de determinante. También, no entiendo la prueba de Laplace de expansión en wikipedia, porque hay demasiado de símbolos y términos que no aprenden y que la prueba dosn no empezar con mi definición. Así, podría alguien darme el esquema de la prueba a empezar con mi definición?

He aquí mi definición de la $n \times n$ determinante:

El valor del determinante de una matriz de orden $n$ se define como la suma de $n!$ términos de la forma $(-1)^k a_{1 i_1} a_{2 i_2} \cdots a_{n i_n}$. Cada término contiene uno y sólo un elemento de cada fila y uno y solo elemento de cada columna; es decir, la segunda subíndices $i_1, i_2 , \ldots, i_n$ son igual a $1,2, \ldots, n$ tomado en algún orden. El exponente $k$ representa el número de intercambios de dos elementos necesarios para la segunda subíndices para ser colocados en el orden en el $1,2, \ldots, n$. Por ejemplo, considere el término que contiene a $a_{13} a_{21} a_{34} a_{42}$ en la evaluación de la determinante de una matriz de orden cuatro. El valor de $k$ $3$ desde tres intercambiadores de dos elementos son necesarios para la segunda subíndices para ser colocados en el orden en el $(1,2,3,4)$.

Answer 1

La prueba en la Wikipedia que se vincula en su intento anterior en esta pregunta es de hecho el uso de la misma definición de "determinante" que está utilizando, sólo que con diferente terminología.

Wikipedia utiliza la definición de determinante como la suma de todos los términos de la forma $$\mathrm{sgn}(\tau)a_{1\tau(1)}\cdots a_{n\tau(n)}$$ donde $a_{ij}$ $(i,j)$ésima de la matriz, $\tau$ es una permutación de $\{1,2,\ldots,n\}$ (es decir, un bijection $\tau\colon\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$), y $\mathrm{sgn}(\tau)$ es el signo de $\tau$.

En su descripción, números de $i_1,\ldots,i_n$ debe ser, precisamente, los números de $\{1,2,\ldots,n\}$ en un poco de orden; dado un sumando $$(-1)^ka_{1i_1}\cdots a_{ni_n}$$ como en su descripción, definimos $\tau\colon\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$$\tau(j) = i_j$. A continuación, $\tau$ es una permutación de $\{1,2,\ldots,n\}$, y podemos expresar el sumando como $$(-1)^ka_{1\tau(1)}\cdots a_{n\tau(n)}.$$ Así que la única cosa que queda es mostrar que su factor de $(-1)^k$ es precisamente igual a $\mathrm{sgn}(\tau)$.

El signo de una permutación $\tau$ es igual a $1$ si $\tau$ puede ser escrito como el producto de un número par de transposiciones, y es igual a $-1$ si puede ser escrito como el producto de un número impar de transposiciones. Una "transposición" es precisamente un "intercambio de dos elementos".

Para cada "cambio" que se realiza para la lista de $i_1,i_2,\ldots,i_n$, considerar la transposición que corresponde a ese cambio. Realizar el intercambio es equivalente a componer $\tau$ con que la transposición. El hecho de que después de realizar la $k$ de estos intercambios de obtener la identidad indica que $\tau$ se puede escribir como un producto de $k$ transposiciones, y por lo tanto ese $\mathrm{sgn}(\tau)=(-1)^k$... exactamente el mismo que el factor de que usted tiene.

Por ejemplo, en su ejemplo,$a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}$, la permutación $\tau$ asociado a este factor es, en discontinuo ciclo de la notación $\tau=(1,3,4,2)$, y en dos de la línea de la notación $$\tau = \left(\begin{array}{cccc} 1&2&3&4\\ 3&1&4&2 \end{array}\right).$$ El intercambio de la $1$ $3$ es equivalente a componer $\tau$ con la transposición de que los intercambios $1$ $3$ ($(1,3)$ en discontinuo ciclo de notación); a continuación, el intercambio de $2$$3$; y, finalmente, el intercambio de $3$$4$, con lo que consigue $(-1)^3 = -1$. Pero esto es lo mismo que decir que $\tau$ es la composición de los tres permutaciones que acabo de mencionar, es decir, que $(1,3,4,2) = (1,3)(2,3)(3,4)$, que es fácil de verificar. Así que la transposición de paridad impar, por lo tanto $\mathrm{sgn}(\tau)=-1$, lo que da exactamente el mismo resultado como el tuyo.

Desde las dos definiciones de determinante son de hecho idénticos, excepto por la terminología utilizada para describir los sumandos, la prueba en la Wikipedia es en el hecho de que "la prueba [...] con [su] definición".