Prueba $11! + 1$ es el primer

Question

Demostrar que:

$$11! + 1$ $ es un número primo. Sin computar el número (o factorial).

Obviamente, del teorema de Wilson, un número $n$ es el primer if,

$$(n-1)! + 1 \equiv 0 \pmod{n}$$

Desde $n = 11! + 1 \in \mathbb{N}$, es el primer foro

$$(11!)! + 1 \equiv 0 \pmod{11! + 1}$$

Tengo un problema aquí, ¿cómo utilizar Teorema de Wilson con factoriales?

Para un comienzo,

Múltiplos de 11:

$$11, 22$$

$11! = 11*10*9...2*1 = 22*10!$

A continuación,

$$(11!)! = (22*10!)! $$

Necesito ayuda en este momento...

Answer 1

Puede ser demostrado para ser el primer uso de la Pratt certificado de $g = 26$.

Específicamente $p = 11!+1$ es primo si (A) $g^{11!} = 1 \pmod p$ y (B) $g^{11!/q} \not= 1 \pmod p$ por cada $q$$2,3,5,7,11$.

Sería de esperar tanto de estos hechos para celebrar cualquier primer p por Fermats poco y teorema de existencia de raíces primitivas. La condición (a) se comprueba fácilmente.

Con algunos cálculos se ha encontrado que los $13$ $26$ son los dos primeros números de $g$ que satisfacen (B) con $q=2$, pero $13$ es rápidamente descartado como $13^{11!/3} = 1 \pmod p$. La condición (B) se puede verificar rápidamente con $g=26$ todos los $q$ demostrando que $p$ es primo.