Encuentre el valor de $x$ y $y$ dada esta ecuación

Question

Mañana tengo un examen de admisión a la universidad y espero que me puedan ayudar a entender cómo llegar a la solución de esto:

1.) Dadas las siguientes ecuaciones: $$3x-y=30\\ 5x-3y=10$$ ¿Cuáles son los valores de $x$ y $y$ ?

$\quad$ a. $x=20, \; y=30$
$\quad$ b. $x=30, \; y=20$
$\quad$ c. $x=20, \; y=40$
$\quad$ d. $x=10, \; y=30$
$\quad$ e. $x=30, \; y=30$

Cuando resolvimos esto nuestro profesor dijo que la respuesta correcta es

$\quad a. x=20, \;y=30$

Podría explicarme por qué es la respuesta por favor... y por favor dígame el título de la lección para que pueda estudiar más en este campo.. Gracias.

Answer 1

Usted tiene lo que llamamos un sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas. Una "lección" correspondiente podría llamarse resolución de sistemas simultáneos de ecuaciones .

$$\begin{align} 3x-y& =30 \tag{1}\\ 5x-3y &=10\tag{2}\end{align}$$

Hay varias formas de resolver el $x, y$ valores que satisfacen ambos ecuaciones. Una forma de abordar esto es sustitución : expresando $y$ en la ecuación $(1)$ en función de $x$ y "enchufar" esa función en " $y$ " en la ecuación $2$ :

$$ 3x - y = 30 \iff \color{blue}{\bf y = 3x - 30}\tag{1}$$

$$\begin{align} 5x - 3\color{blue}{\bf y} & = 10 \tag{2}\\ 5x - 3(\color{blue}{\bf 3x - 30}) & = 10 \\ 5x - 9x + 90 & = 10 \\ -4x & = -80 \\ \bf x & = \bf 20\end{align}$$

Ahora, vuelve a $(1)$ y "enchufar" $x = 20$ para resolver $y$ : $$\begin{align} (1)\quad x = 20,\quad 3x - y = 30 & \implies 3(20) - y =30 \\ &\iff -y = -30\\ & \iff {\bf y = 30}\end{align}$$

¡Viola!: Tenemos un único solución al sistema dado por las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ a saber, $x = 20, \;y = 30$ y esto corresponde a la opción $(a)$ .

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Si explora el enlace ( Academia Khan ) publicado al principio de esta respuesta, encontrarás los vídeos correspondientes y los problemas de práctica para resolver sistemas de ecuaciones lineales por sustitución (como acabamos de hacer) y también por eliminación.

Answer 2

Cuando se dan las respuestas en formato de opción múltiple, siempre me ha parecido más rápido simplemente sustituir los valores para ver cuál resulta, pero la forma correcta de hacerlo es la siguiente. Tienes estas dos ecuaciones:

$$3x-y = 30,$$

$$5x-3y = 10.$$

Multipliquemos la ecuación superior por $(-3)$ y ver qué pasa.

$$(-3)(3x - y) = -9x + 3y = (-3)(30) = -90$$

Es decir, que obtenemos

$$-9x + 3y = -90.$$

Obsérvese que en esta nueva ecuación tenemos un $+3y$ y nuestra otra ecuación tiene $-3y$ . Si los añadimos, se eliminará el $y$ dependencia ya que se cancelará. Hagamos esto. Sumándolos obtenemos

$$-9x + 3y + 5x - 3y = -90 + 10 $$

O

$$-4x = -80 \Rightarrow x = 20.$$

¿Puedes ver cómo conseguir $y$ de esto? (Piensa: sustituye el valor de $x$ que acabamos de encontrar).

Answer 3

... y por favor dígame el título de la lección para que pueda estudiar más en este campo..

Se trata del estudio de " ecuaciones simultáneas ". En este lineal ecuaciones simultáneas, porque todas las ecuaciones utilizadas describen líneas rectas. A veces no habrá solución para este tipo de problemas. Otras veces habrá muchas soluciones. Lo mejor es aprender matrices si pretende resolver sistemas de ecuaciones con más de tres variables.

Answer 4

Pues bien, si estás haciendo un examen de opción múltiple, es de esperar que una (y sólo una) de las cuatro respuestas funcione. Esto nos lleva a un enfoque pragmático (aunque ligeramente solapado) para resolver estos problemas, a saber probar todos los valores . Es probable que esto sea más rápido que calcular realmente $x$ y $y$ a mano si el número de opciones no es demasiado grande.

A continuación se explica cómo se podría hacer este problema con este enfoque. En primer lugar, parece más fácil calcular $3x - y$ que $5x-3y$ Así que introduzcamos los 5 casos en la primera ecuación.

a. $3x-y=3\times20-30=60-30=30$ funciona

b. $3x-y=3\times30-20=90-20=70$ no

c. $3x-y=3\times20-40=60-40=20$ no

d. $3x-y=3\times10-30=30-30=0$ no

e. $3x-y=3\times30-30=90-30=60$ no

Así que ya hemos descartado todas las respuestas que no sean la (a), y por lo tanto puedes elegir simplemente la (a). No necesitamos la segunda ecuación en absoluto.

Otro posible método estrechamente relacionado (si tienes poco tiempo) sería, después de ver que (a) funciona para la primera ecuación, comprobar inmediatamente (a) con la segunda ecuación. Si también funciona ahí, habrás encontrado una respuesta correcta, y sólo debería haber una respuesta correcta si te fías de quien escribió el examen, así que puedes marcar simplemente (a). Es probable que esto te ahorre tiempo en un caso como éste, en el que encuentras rápidamente una que satisface la primera ecuación.

En cuanto a la comprensión de cómo resolver esto fuera de un entorno tan controlado, la respuesta de amWhy es muy buena como tratamiento básico, así que no la repetiré. La idea básica es que usted quiere encontrar una manera de eliminar una variable de las ecuaciones mediante la manipulación para resolver una variable y la sustitución en la otra ecuación. Entonces resuelve esa ecuación para la segunda variable, y vuelve a encontrar la primera variable después de eso.

Si quieres profundizar en el estudio, este es un sistema de ecuaciones lineales y encontrar las soluciones a estos sistemas es una parte importante de álgebra lineal . Sin embargo, probablemente no quieras intentar coger un libro de texto de álgebra lineal sin entender bien la resolución de sistemas como el anterior. Te recomiendo que pruebes las técnicas anteriores en un sistema con 3 ecuaciones y 3 incógnitas para comprobar que entiendes cómo funciona primero.

Answer 5

Para este tipo de problemas, proceda con las opciones dadas a continuación.

Toma una ecuación cualquiera de este problema dado. Sustituye los valores en la pregunta.

Tomemos 3x-y=30 ---- (1)

a. x=20,y=30

Sustituye estos valores en (1)

3(20)-30 = 30 ,tienes la respuesta.

De la misma manera, compruebe con otras opciones.

simple. Este tipo de problemas podemos resolverlos a partir de las respuestas.

Buena suerte