¿Por qué son las fracciones continuadas de raíz no cuadrada números ($\sqrt[a]{x}$ donde $a>2$) no periódicas?

Question

Ok, así que es bastante sorprendente cómo las fracciones continuas para $\sqrt[2]{x}$ siempre son periódicas para todos los números enteros de $x$ (y donde $x$ no es un cuadrado perfecto): Aquí hay un enlace sugiero mirar en: http://mathworld.wolfram.com/PeriodicContinuedFraction.html ...

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La siguiente es la simple continuación de la fracción de la forma: $$\sqrt x = a_1+ \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{a_4 + \cfrac{1}{a_5 + \cfrac{1}{a_6 + \cfrac{1}{a_7 + \cdots}}}}}}$$

Por ejemplo:

La continuación de la fracción de $\sqrt 7$ es de la siguiente manera: $[2;1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4,\ldots]$ el período de tiempo en este caso es $4$... y la continuación de la fracción se puede escribir como:

$$[2;\overline{1,1,1,4}]$$

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Algunos otros ejemplos:

$\sqrt2 = [1;\overline{2}]$ Período es de 1

$\sqrt3 = [1;\overline{1,2}]$ Período es de 2

$\sqrt{13} = [3;\overline{1,1,1,1,6}]$ Período es de 5

$\sqrt{97} = [9;\overline{1,5,1,1,1,1,1,1,5,1,18}]$ Período es de 11

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Hay muchas otras fuentes que muestran esto... pero ¿por qué no trabajar para otras personas, tales como la raíz cubica? He escrito un programa en java para calcular la continuación de la fracción de la raíz enésima de los números entre el $1$ $100$ (excluyendo los cuadrados perfectos,etc...) para los primeros 100 términos. Aquí están los resultados:

$\sqrt[2]{x}$: http://pastebin.com/ZcasfRyP

$\sqrt[3]{x}$: http://pastebin.com/XG9UF8hR

$\sqrt[4]{x}$: http://pastebin.com/Edp307SE

$\sqrt[5]{x}$: http://pastebin.com/9SwwPqUa

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Como se puede ver ningún período de...

Entonces, ¿por qué periódico para raíces cuadradas, pero no para otros? Una extensión de la pregunta: Periódico fracciones continuas de la no-raíz cuadrada de los números ($\sqrt[a]{x}$ donde $a>2$) - Un enfoque diferente

Saludos

Josué Lochner

Answer 1

La forma más fácil de mostrar este es el contrapositivo: si la continuación de la fracción es periódica, entonces su valor es una ecuación cuadrática.

Para ver esto, observe que si tenemos $y = [a_1; a_2, a_3, \ldots, a_n, x]$ sí $x,y$ y enteros $a_i$, entonces podemos escribir $y=\dfrac{mx+n}{px+q}$ para algunos enteros $m, n, p, q$. (Esto es fácil de demostrar por inducción - tenga en cuenta que si $z=[a_2; a_3, \ldots, a_n, x]$ $= \dfrac {m'x+n'}{p'x+q'}$, entonces $y=a_1+\dfrac1z$ $=a_1+\dfrac{p'x+q'}{m'x+n'}$ $=\dfrac{a_1m'x+a_1n'+p'x+q'}{m'x+n'}$ $=\dfrac{(a_1m'+p')x+(a_1n'+q')}{m'x+n'}$ es claramente de la forma requerida.)

Ahora, si la continuación de la fracción de $x$ es periódica, entonces tenemos $x=[a_1; a_2, a_3, \ldots, a_n, x]$, por lo anterior no son enteros con $x=\dfrac{mx+n}{px+q}$. Pero ahora, multiplique ambos lados por $px+q$ conseguir $px^2+qx=mx+n$ o $px^2+(q-m)x-n=0$, por lo que el $x$ es una solución para esta ecuación de segundo grado.

Para responder a la pregunta sobre los patrones en las fracciones continuas de otros números: al mejor de mi conocimiento, no se sabe nada acerca de las fracciones continuas, por ejemplo, de raíces cúbicas — no, incluso si sus coeficientes son limitadas! — a pesar de que se sabe que ellos no pueden crecer demasiado rápido: esto es un corolario del Teorema de Roth, que delimita el llamado irracionalidad medida de números algebraicos (lo bien que se puede aproximar por racionales). Por otro lado, hay una clase especial de (trascendental) números para los que más información sobre la evolución de la fracción de la representación es conocida: algunos números de Liouville han continuado las fracciones con complicados recursiva (casi fractal) estructuras; ver http://mathworld.wolfram.com/LiouvillesConstant.html y algunas de las referencias que hay un poco más de información sobre esto.

Answer 2

Es debido a que la periodicidad de una simple continuación de la fracción equivale a una ecuación cuadrática. Voy a ilustrar esto por medio de un ejemplo: $$ 7 + \cfrac 1 {2 + \cfrac 1 {3+\cfrac 1 {9 + \cdots\vphantom{\dfrac 1 1}}}} $$ y asumir la $2,\,3,\,9$ repite. Tenemos $$ 7,\ \overbrace{2,3,9,}\ \overbrace{2,3,9,}\ \overbrace{2,3,9,}\ \overbrace{2,3,9,}\ \ldots $$ Este es $$ -2 + \left(9 + \cfrac 1 {2 + \cfrac 1 {3+\cfrac 1 {9 + \cdots\vphantom{\dfrac 1 1}}}} \right) \tag 1 $$ de modo que $9,\ 2,\ 3$ repite desde el principio.

Deje $x = {}$la continuación de la fracción en $(1)$, $9,\ 2,\ 3$ repetir.

A continuación, obtenemos $$ x = 9 + \cfrac 1 {2 + \cfrac 1 {3 + \cfrac 1 x}} $$ Entonces, desde el $\dfrac 1 {3+\cfrac 1 x} = \dfrac x {3x+1}$, tenemos $$ x = 9 + \cfrac 1 {2 + \cfrac x {3x+1}}. $$ Ahora multiplique el numerador y el denominador de la fracción después de$9+\cdots$$3x+1$, al pasar $$ x = 9 + \dfrac{3x+1}{7x+2} $$ así $$ x = \frac{66x+ 19}{7x+2}. $$ Multiplicar ambos lados por $7x+2$: $$ x(7x+2) = 66x+19. $$ Y allí se tiene una ecuación cuadrática.

Answer 3

no funciona porque, dada una estrictamente periódico continuó fracción, se puede construir el 2 por 2 matriz de la que proviene. Entonces tenemos el entero de una forma cuadrática que pasa con los que automorphism de la matriz. Finalmente, llegamos a la "cuadrática irracional" de más de uno que va con eso.

Bien, estamos tratando con un indefinido binario forma cuadrática, $$ f(x,y) = A x^2 + B xy + C y^2, $$ with positive non-square discriminant $$ \Delta = B^2 - 4AC. $$ Podemos encontrar el mínimo de la solución de $(\tau, \sigma)$ a la ecuación de Pell tipo $$ \tau^2 - \Delta \sigma^2 = 4. $$ A continuación, la matriz que genera la ($+1$) automorphism grupo de la forma es $$ P = \left( \begin{array}{rr} \frac{\tau - B \sigma}{2} & -C \sigma \\ A \sigma & \frac{\tau + B \sigma}{2} \end{array} \right) $$

La matriz Hessiana de la forma es $$ H = \left( \begin{array}{rr} 2 A & B \\ B & 2C \end{array} \right) $$ y el automorphism matrices de satisfacer $$ P^T H P = H. $$ En la discusión siguiente, el "cuadrática irracional" que tiene que la continuación de la fracción proviene de la fórmula cuadrática van de derecha a izquierda, que es $$ \frac{-13 - \sqrt {345}}{-22} \approx 1.4351898 $$

A continuación, un CF que es "eventualmente periódico" es sólo un reordenamiento de la cuadrática irracional. Permítanme darles un "reducido" de forma cuadrática como ejemplo, dame un minuto

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle 4 13 -11

  0  form              4          13         -11


           1           0
           0           1

To Return  
           1           0
           0           1

0  form   4 13 -11   delta  -1
1  form   -11 9 6   delta  2
2  form   6 15 -5   delta  -3
3  form   -5 15 6   delta  2     ambiguous  
4  form   6 9 -11   delta  -1
5  form   -11 13 4   delta  3
6  form   4 11 -14   delta  -1
7  form   -14 17 1   delta  17
8  form   1 17 -14   delta  -1     ambiguous  
9  form   -14 11 4   delta  3
10  form   4 13 -11


  form   4 x^2  + 13 x y  -11 y^2 

minimum was   1rep   x = 108   y = 155 disc 345 dSqrt 18  M_Ratio  20.25
Automorph, written on right of Gram matrix:  
-2029  -8008
-2912  -11493
=========================================

Dada la matriz a la que llamo "Automorph," aquí es cómo recuperar la forma:

? m = [ 2029, 8008; 2912, 11493]
%2 = 
[2029 8008]

[2912 11493]

? matdet(m)
%3 = 1
? 2029 + 11493
%4 = 13522
? gcd(5,3)
%5 = 1
? gcd(2912, 8008)
%6 = 728
-
? tr = 2029 + 11493
%7 = 13522
? g = gcd(2912, 8008)
%8 = 728
? tr^2 - 4
%9 = 182844480

? rat = ( tr^2 - 4) / g^2
%12 = 345

? tr^2 - 345 * g^2
%14 = 4
? 
? a = 2912 / g
%16 = 4

? b = ( tr - 2 * 2029) / g
%18 = 13

? c = -8008 / g
%17 = -11

Dada la puramente periódico continuó fracción con la repetición de la parte $$ 1,2,3,2,1,3,1,17,1,3, $$ la matriz resultante es el producto de poco, de 2 en 2 matrices:

? a1 = [0,1; 1,1]
%1 = 
[0 1]

[1 1]

? a2 = [0,1; 1,2]
%2 = 
[0 1]

[1 2]

? a3 = [0,1; 1,3]
%3 = 
[0 1]

[1 3]

? a17 = [0,1; 1,17]
%4 = 
[0 1]

[1 17]

? auto = a1 * a2 * a3 * a2 * a1 * a3 * a1 * a17 * a1 *a3
%5 = 
[2029 8008]

[2912 11493]

? 

Answer 4

La idea es bastante simple. Suponga que $$x=[a_0;\overline{a_1 , \dots , a_k}]$ $ es un número real cuya fracción continua es periódica. Entonces satisface la ecuación %#% $ #%, que puede ser transformado por una ecuación cuadrática. con coeficientes enteros. Por ejemplo, cumple con el número $$x- a_0= \frac{1}{a_1+\frac{1}{\frac{\dots}{a_{k-1}\frac{1}{a_k+(x-a_0)}}}}$ $x=[2; \overline{1,4}]$ $, que es equivalente a la ecuación cuadrática $$x-2= \frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{x-2}}}$ $

Así, todos los números periódicos deben ser cuadráticos.