Campos de características y cónicas afines

Question

Dejemos que $k$ sea cualquier campo de característica no igual a $2$ y $V$ a $3$ -dimensional $k$ -espacio vectorial. Sea $Q: V \to k$ sea una forma cuadrática no degenerada en $V$ . ¿Cómo podemos demostrar que si $\,0\neq e_1\in V\,$ satisface $Q(e_1) = 0$ entonces $V$ tiene una base $e_1,e_2,e_3$ tal que $Q(x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3) = x_1 x_3 + ax_2^2$ .

Y cómo deducir que una cónica no generada no vacía $C \subseteq \mathbb{P}_k^2$ es proyectivamente equivalente a $XZ = Y^2$ ?

Lo que puedo notar es que necesito trabajar la forma bilineal simétrica $\phi$ asociado a $Q$ y como $\phi$ es no degenerado, existe un vector $e_3$ tal que $\phi(e_1,e_3) = 1$ .

Answer 1

Ha empezado con buen pie al considerar $\phi$ y observando que se puede elegir $e_3$ para que $\phi(e_1, e_3) = 1$ .

Ahora dejemos que $c = \phi(e_3, e_3)$ que puede o no ser $0$ . Pero podemos sustituir $e_3$ por $e'_3 = \frac{c}{2} e_1 - e_3$ y calcular que $\phi(e'_3, e'_3) = \frac{c^2}{4}\phi(e_1,e_1) - 2\frac{c}{2}\phi(e_1,e_3) + \phi(e_3,e_3) = 0$ . Por lo tanto, la sustitución de $e_3$ avec $e'_3$ podemos suponer $\phi(e_1,e_1) = \phi(e_3,e_3) = 0$ mientras que $\phi(e_1,e_3) = \phi(e_3,e_1) = 1$ .

Dejemos que $e_2$ sea un tercer vector para completar la base. Establezca $b = \phi(e_1,e_2)$ . Configurar $e'_2 = e_2 - b e_3$ tenemos que $\phi(e_1,e'_2) = 0$ Así pues, la sustitución de $e_2$ por $e'_2$ podemos suponer $\phi(e_1,e_2) = \phi(e_2, e_1) = 0$ . Ahora dejemos que $c = \phi(e_2,e_3)$ y establecer $e'_2 = e_2 - c e_1$ . El $\phi(e'_2,e_3) = 0$ y $\phi(e'_2,e_1) = 0$ Así pues, la sustitución de $e_2$ por $e'_2$ de nuevo, obtenemos que la matriz para $\phi$ tiene la forma $$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & a & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ para algunos $a$ . Porque $\phi$ es no degenerado, $a \neq 0$ . De este modo, se obtiene el resultado deseado $Q$ .

Si $-a$ tiene una raíz cuadrada en $k$ (siempre es el caso si $k$ es algebraicamente cerrado), entonces sustituyendo $e_2$ por $e'_2 = \frac{1}{\sqrt{-a}} e_2$ podemos suponer que $Q(e_2) = \phi(e_2,e_2) = -1$ .

Para la segunda parte, dejemos $C \subset \mathbb{P}^2_k$ sea una cónica no degenerada definida por una forma cuadrática no degenerada $Q$ . Nótese que la existencia del vector $e_1 \neq 0$ tal que $Q(e_1) \neq 0$ es equivalente al hecho de que la cónica $C$ no está vacío.

Aplicar una equivalencia proyectiva corresponde a realizar un cambio de base en $V$ . Y acabamos de demostrar que podemos cambiar nuestra base para que $Q$ tiene la forma $$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$ Pero este $Q$ define la cónica $C$ dada por la ecuación $XZ - Y^2 = 0$ o $XZ = Y^2$ . (Edición: En realidad, dependiendo de las convenciones, es más probable interpretar esto $Q$ como la definición de la cónica $2 XZ = Y^2$ (pero véase la observación que figura a continuación).

Edición: Como ha señalado Georges Elencwajg en los comentarios, se puede utilizar $Z \mapsto Z/a$ para conseguir $XZ = aY^2$ proyectivamente equivalente a $XZ = Y^2$ para cualquier $a \neq 0$ .