Teorema de Liouville más fuerte

Question

"Cada delimitada la función que se holomorphic en $A$ es es constante."

Para que $A\subseteq\mathbb{C}$ es esto cierto?

Hay ejemplos bien conocidos de unbounded conjuntos de $A\subseteq\mathbb{C}$ sobre los que hay no son constantes delimitada holomorphic funciones?

Más tarde edit: Mi golpear a la segunda pregunta sólo tenía la intención de destacar. Siéntase libre de publicar más adelante si así lo desea. Algunos de los ejemplos publicados en respuesta a que eran ya bien conocidas para mí; yo había pensado de ellos si mi atención había sido en la segunda pregunta, en lugar de la primera.

Me estoy imaginando un par de posibilidades: (1) Varios otros tipos de conjuntos de $A$ será mencionado en las respuestas; y (2) Una respuesta que va a decir que algunos de niza teorema dice que esto es cierto de un conjunto $A$ si y sólo si, lo que sea, donde "lo que sea" es algo que no es trivial diferente de un tautologous "si y sólo si cada delimitada holomorphic de la función en $A$ es constante", y tal vez "lo que sea", es de alguna manera elegante o al menos simples.

Answer 1

En el lado afirmativo tienes que si $B$ es un subconjunto discreto de $\mathbb{C}$ (es decir no tiene acumulación puntos) entonces cada función holomorfa limitada $f: \mathbb{C}\setminus B \to \mathbb{C}$ debe ser constante. Esto es porque cada "singularidad" en $b\in B$ es extraíble (aquí utilizas que $B$ es discreta) y así $f$ se extiende a toda función acotada.

Answer 2

Para cualquier $A$ cuyo complemento contiene una vecindad de un $z_o$, limita la función holomorphic $1/(z-z_o)$ $A$.

Answer 3

Mira la función exponencial en la izquierda mitad-plano. If $a\le 0$, $$|\exp(a + ib)| = e^a \le 1.$$

Answer 4

Si $A$ está conectado y abierto, por el teorema de uniformización es cubierto por cualquiera de las $\mathbb{C}$, la de abrir el disco, o la esfera de Riemann. La tercera posibilidad no ocurre en este caso se limita a los dos primeros. En el primer caso, cualquiera limitada de la función en $A$ tira a un almacén de la función en $\mathbb{C}$, por lo que podemos reducir a la habitual del teorema de Liouville. En el segundo caso, el disco abierto claramente admite un no-constante delimitada de la función a $\mathbb{C}$, es decir, la obvia la inclusión. En particular, si $A$ es simplemente conectado y cubiertos por el disco, es, de hecho, biholomorphic para el disco abierto (así, por ejemplo, abrir la mitad de espacio que tiene esta propiedad).

Answer 5

Hay ejemplos a tu segunda pregunta. Que $A$ el alto-medio-plano, y considerar el mapa conformal canónico del alto-medio-plano para el disco de unidad dado por $$ f (z) = \frac{i-z}{i+z} $$