¿Paradigma del examen sorpresa?

Question

Acabo de recordar un problema/paradoja que leí hace años en la sección de diversiones del periódico y que me ha hecho dudar muchas veces. El problema es el siguiente:

Un profesor de matemáticas dice a la clase que durante el año dará un examen sorpresa, por lo que los alumnos deben estar preparados todo el año. Sin embargo, un alumno se pone a pensar:

1. El profesor no puede esperar hasta el último día de clase, porque entonces el examen no será inesperado. Así que no puede ser el último día.
2. Como hemos eliminado el último día de la lista de días posibles, la misma lógica se aplica al día anterior al último día.
3. Aplicando 1) y 2) eliminamos todos los días de la lista de días posibles.
4. Así que resulta que el profesor no puede dar un examen sorpresa en absoluto.

Siguiendo esta lógica, nuestro alumno no se prepara para este examen y es reprobado rápidamente cuando el profesor lo hace en algún momento de la mitad del año (pero eso es mi propia adición creativa al problema).

Este problema me recuerda a la dilema del prisionero para un número finito de turnos - tienes que traicionar en el último turno porque la represalia del ojo por ojo ya no es relevante (no hay próximo turno), pero entonces eso significa que tienes que traicionar en el turno anterior, y así sucesivamente, hasta llegar a la conclusión de que no puedes cooperar en absoluto.

Entonces, ¿el razonamiento del estudiante es correcto o no? Matemáticamente parece que debería serlo, pero eso implicaría que los exámenes sorpresa no son posibles (y lo son).

Answer 1

Hay una modelo de conocimiento , debida esencialmente a Robert Aumann, en la que el conocimiento está representado por una partición $\Pi$ de un conjunto de estados del mundo $\Omega$ . Si el verdadero estado del mundo es $\omega$ el agente con partición $\Pi$ sólo sabe que algún estado de la célula $\pi(\omega)$ (el valor de la proyección en $\omega$ ) obtenido. Un evento es simplemente un subconjunto de $\Omega$ . Decimos que un agente sabe que el evento $E$ obtiene en $\omega$ si $\pi(\omega)\subseteq E$ . Ahora dejemos que el espacio de estados sea $\Omega=\{1,2,\ldots,T\}$ donde interpretamos $t$ como "hay un examen en $t$ ". Ahora no hay partición $\Pi$ tal que se cumpla lo siguiente:

1. El estudiante no sabe exactamente en qué fecha es el examen en ningún estado.
2. Si no hubiera un examen en $\{1,\ldots,t-1\}$ , entonces el alumno lo sabe en $t$ .

Prueba: Sea $t$ sea un elemento de $\Omega$ tal que $\pi(t)$ no es un singleton. Tal elemento debe existir por 1. Sea $t'$ sea el mayor elemento de $\pi(t)$ . Por supuesto $t'>t$ y así por 2., $\{1,\ldots,t'-1\}$ es una unión de celdas en $\Pi$ que contiene $t$ . Desde $\Pi$ es una partición, $\pi(t)\subseteq\{1,\ldots,t'-1\}$ , contradiciendo $t'\in\pi(t)$ .

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Así que, al menos usando el modelo de conocimiento utilizado anteriormente, la paradoja del examen sorpresa no puede formularse de forma coherente.

Answer 2

En el capítulo 43 de la obra de Martin Gardner, "La paradoja del ahorcamiento inesperado", se puede encontrar un buen debate sobre la misma. El Libro Colosal de las Matemáticas (Nueva York: W. W. Norton & Company, 2001). Se incluyen numerosas referencias.

Gardner, citando a O'Beirne, afirma que "la clave para resolver la paradoja reside en reconocer que una afirmación sobre un acontecimiento futuro puede ser conocida como una predicción verdadera por una persona, pero no ser conocida como verdadera por otra hasta después del acontecimiento."

El profesor que hace el examen sorpresa "sabe que su predicción es acertada. Pero la predicción no puede utilizarse para apoyar una cadena de argumentos que acabe por desacreditar la propia predicción. Es esta autorreferencia indirecta la que [...] lanza la llave inglesa a todos los intentos de demostrar que la predicción no es sólida".

Véase también "El examen sorpresa o la paradoja del ahorcamiento inesperado". Timothy Y. Chow. Amer. Math. Monthly 105 (1998) 41-51, cuya versión en pdf es aquí .

Answer 3

Todo depende de la definición de "examen sorpresa".

Si el profesor afirma que se hará un examen con toda seguridad, de modo que en cualquier mañana del trimestre hasta el último día los alumnos nunca podrían saber con certeza que ese día está programado un examen, el profesor ha hablado en falso, ya que, si no se hubiera hecho un examen el penúltimo día los alumnos sabrían con certeza que el examen era el último día.

Sin embargo, si el profesor afirma que se realizará un examen sin previo aviso en algún momento del trimestre, parece justo llamarlo "examen sorpresa", ya que sólo el último día de la clase se podía predecir con certeza que habría un examen si todos los demás no lo habían hecho. E incluso entonces, la certeza del examen sólo se conocería durante 24 horas (no es mucho tiempo para estudiar el material de todo un trimestre). Todos los demás días tendrían una incertidumbre importante. La estrategia del profesor para mantener a los alumnos en vilo funcionaría.

Así, la paradoja de tu pregunta viene cuando dices: "Matemáticamente parece que debería ser así, pero eso implicaría que los exámenes sorpresa no son posibles ( y son )." Los exámenes sorpresa del primer tipo son no posible. Los exámenes sorpresa del segundo tipo lo son. Cuando se aclaran las definiciones, no hay ninguna paradoja.

Answer 4

Si el estudiante es lo suficientemente brillante como para demostrar que un examen "sorpresa" es imposible, entonces ciertamente sería una sorpresa para el estudiante, siempre que el examen fuera establecido.

Answer 5

Hay muchas formas de formalizar la paradoja, en muchos campos diferentes, y el artículo (de T. Chow) citado por Joel Reyes Noche, hace un buen trabajo de revisión.

Sin embargo, una cosa que siempre me ha molestado, es que en la mayoría de las formalizaciones, el examen sorpresa puede tener lugar en el último día, tan legítimamente como en cualquier otro día. En mi opinión, esto no transmite el significado intuitivo de "sorpresa".

Un nuevo enfoque, dado por Ran Raz aquí no sufre esta falacia. Sigue la formalización lógica "estándar" - en la que "sorpresa" significa "el día exacto no puede ser probado de antemano (usando el enunciado), por el hecho de que no ha ocurrido todavía", pero añade la cláusula "o se puede probar que cae en días diferentes" (ya que, obviamente, si se pueden probar hechos opuestos, es difícil decir que los estudiantes "saben" algo). Ahora bien, lo interesante es que el examen no puede ocurrir el último día, pero el argumento de la inducción falla por la indemostrabilidad de la consistencia del sistema lógico (también conocido como "Segundo Teorema de Incompletitud de Godel").

Este enfoque me parece interesante y refrescante.