¿Por qué este elemento en este producto del tensor no es cero?

Question

$R=k[[x,y]]/(xy)$, $k$ un campo. Este anillo es local con máxima ideal $m=(x,y)R$. A continuación, el libro demuestra que $x\otimes y\in m\otimes m$ no es cero, pero no entiendo lo que está sucediendo, si el producto del tensor es $R$-lineal, $x\otimes y=1\otimes xy=1\otimes 0=0$, ¿Dónde está el error? Y también el libro demuestra que este elemento es la torsión:

$(x+y)(x\otimes y)=(x+y)x\otimes y=(x+y)\otimes(xy)=(x+y)\otimes0=0$

¿por qué $(x+y)x\otimes y=(x+y)\otimes(xy)$?

Answer 1

Para tu primera pregunta, $1$ no radica en $m$, lo $1 \otimes xy$ no es en realidad un elemento de $m \otimes m$.

$R$-linealidad implica $a(b\otimes c)=(ab)\otimes c$, pero (y esto es importante), si usted tiene $(ab)\otimes c$, e $b$ no radica en $m$, "$ab$ " no es en realidad una factorización del elemento dentro de $m$, y si tratamos de factor $a$, obtenemos $a(b\otimes c)$, que no es sensical desde $b$ no radica en $m$.

Para tu segunda pregunta, $(x+y)x\otimes y=x((x+y)\otimes y)=(x+y)\otimes(xy)$. La razón por la que se les permitió llevar a cabo la $x$ en este caso fue debido a $x+y$ se encuentra en $m$, por lo que todos los elementos de las ecuaciones se mantuvo en $m \otimes m$.

Saludos,

Rofler