Evaluar: $$\iiint_{x^2+y^2+z^2 \leqslant 1} x^{2n}+y^{2n}+z^{2n} dV $ $
He intentado convertir a polars esféricos y calcular la integral, pero se pone muy sucio debido a la potencia de 2n. ¿Algún consejo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Primera observación: es simétrica en $x,y,z$, por linealidad tenemos $$\iiint_{x^2+y^2+z^2 \leqslant 1} x^{2n}+y^{2n}+z^{2n} dV =3\iiint_{x^2+y^2+z^2 \leqslant 1} z^{2n} dV.$ $
Elección de Coordenadas esféricos se convierte en $$3\iiint_{x^2+y^2+z^2 \leqslant 1} (r\cos \theta)^{2n} dV$ $ donde $dV= r^2 \sin \theta \ \text{d}r \ \text{d}\theta \ \text{d}\phi$. Así la integral se simplifica a %#% $ de #% con $$3 \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 r^{2(n+1)} (\cos \theta)^{2n} \sin \theta \ \text{d}r \ \text{d}\theta \ \text{d}\phi = \frac{3}{2n+3}2 \pi \int_0^{\pi}(\cos \theta)^{2n} \sin \theta \ \text{d}\theta. $ $ tenemos $$\int_0^{\pi}(\cos \theta)^{2n} \sin \theta \ \text{d}\theta = \frac{2}{2n+1} $ $
