¿Más del 99% de grupos de orden menor que 2000 son del orden de 1024?

Question

En álgebra: Capítulo 0, el autor hizo una observación (nota en la página 82), diciendo que más de 99% de grupos de orden menor que 2000 son del orden de 1024.

¿Es esto real? ¿Cómo puede uno deducir este resultado? ¿Hay una manera agradable o controlamos a todos los grupos finitos hasta isomorfismo?

¡ Gracias!

Answer 1

Aquí está una lista de la cantidad de grupos de orden $n$$n=1,\ldots,2015$. Si se suman el número de grupos de orden distinto al $1024$, consigue $423{,}164{,}062$. Hay $49{,}487{,}365{,}422$ grupos de orden $1024$, así que usted puede ver que la afirmación es verdadera. (De hecho, el porcentaje es de alrededor de $99.15\%$.)

Que yo sepa no hay forma razonable deducir a priori el número de clases de isomorfismo de grupos de un determinado orden, aunque creo que la combinatoria del grupo de teoría tiene algunos métodos para casos específicos. Una regla general es que hay una tonelada de $2$-grupos, y de hecho he oído que se dijo que "casi todos los grupos finitos se $2$-grupos" (aunque no puedo citar una referencia para la declaración).

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EDIT: Como se señaló en los comentarios, "casi todos los grupos finitos se $2$-grupos" es todavía una conjetura. Hay un asintótica límite en el número de $p$-grupos, con el fin de $p^n$, sin embargo. Denotando por $\mu(p,n)$ el número de grupos de orden $p^n$, $$\mu(p,n)=p^{\left(\frac{2}{27}+O(n^{-1/3})\right)n^3},$$ que está probado aquí. Este colosal crecimiento, junto con los resultados de Besche, Eick & O'Brien parece ser lo que principalmente motivado la conjetura.

Answer 2

Esto es cierto. La cantidad de grupos de orden en la mayoría de 2000 (hasta el isomorfismo) se calculó con precisión por primera vez en 2001 por Besche, Eick y O'Brien. Aquí está el anuncio de su resultado:

Anunciamos la construcción hasta el isomorfismo de la $49 910 529 484$ grupos de orden en la mayoría de las $2000$.

En la tabla 1 el número de grupos de orden $1024$,$49 487 365 422$. Por lo tanto ~99,2% de todos los grupos de orden en la mayoría de las $2000$ tienen orden de $1024$.