Diferencial del soporte de la mentira

Question

Estoy tratando de averiguar por qué la siguiente igualdad es verdadera :

$$f_*[X,Y]=[f_*X,f_*Y]$$ donde $f:M\rightarrow N$ es un diffeomorphism, $M$, $N$ son suaves, colectores de, $X$, $Y$ son suaves campos vectoriales en $M$.

He tratado de escribir $$f_*[X,Y]=\dfrac{\partial f^i}{\partial x^j}\left( \chi^k \dfrac{\partial \psi^j}{\partial x^k}-\psi^k \dfrac{\partial \chi^j}{\partial x^k}\right)\dfrac {\partial}{\partial y^i}$$ donde $$X=\chi^k \dfrac{\partial}{\partial x^k},Y=\psi^k \dfrac{\partial}{\partial x^k}, [X,Y]=\left( \chi^k \dfrac{\partial \psi^j}{\partial x^k}-\psi^k \dfrac{\partial \chi^j}{\partial x^k}\right)\dfrac {\partial}{\partial x^j}.$$ Sin embargo, cuando se trata de escribir la segunda parte de la igualdad: $$[f_*X,f_*Y]=\left( (f_*X)^k \dfrac{\partial (f_*Y)^j}{\partial y^k}-(f_*Y)^k \dfrac{\partial (f_*X)^j}{\partial y^k}\right)\dfrac {\partial}{\partial y^j}$$ donde $y^j$ es una coordenada base de N.

El problema al que me enfrento es que no puedo diferenciar $f_*Y, f_*X$ con respecto a la base $y^j$, en la expresión anterior. Cualquier ayuda se agradece. ( Yo preferiría una respuesta en la que se basa en la definición de la Mentira Soporte con las coordenadas, ya que he trabajado anteriormente)

Answer 1

Bien, ves que es mucho más sencillo en forma independiente de coordenadas. En cuanto a diffeomorphism $ f : M \rightarrow N $ $ f_* : \mathcal{X}(M) \rightarrow \mathcal{X}(N) $ y por lo tanto, $p\in M $ mapas espacios tangentes $T_p(M)$ $T_{f(p)}(N) $ dada por $ g \in C^\infty(N) $ $f_* (X)(g)(f(p)) = X(g\circ f)(p)$ por lo tanto, $ f_*(X)(g)\circ f = X(g\circ f ) $ así $X,Y \in \mathcal{X}(M) $ tenemos para todas las $ g \in C^\infty(N) $\begin{align*} & f_*[X,Y]_{f(p)}(g) = [X,Y]_p(g\circ f) \\ & = X_p(Y(g\circ f))-Y_p(X(g\circ f)) \\ & = X_p(f_*(Y)(g)\circ f) - Y_p(f_*(X)(g)\circ f) \\ & = f_*(X)_{f(p)}(f_*(Y)(g))-f_*(Y)_{f(p)}(f_*(X)(g)) \\ & = [f_*(X),f_*(Y)]_{f(p)} (g) \end{align*} por lo tanto $ f_*[X,Y] = [f_*(X),f_*(Y)] $

Answer 2

Para hacer este cálculo en coordenadas sin el uso de funciones y puntos que usted tiene que adoptar el físico manera de escribir las cosas que es desordenado y unplesant :-) sin Embargo, la regla de la cadena se encarga de todas las cuestiones de evaluación.

Sea f mapa de x a y. Vamos a denotar el jacobiano y jacobiana inversa por $\frac{\partial y^j}{\partial x^i}, \frac{\partial x^j}{\partial y^i}$

Vamos a escribir $\tilde{Z}=f^*Z$$\tilde{W}=f^*W$, por lo que los componentes de "cambio"

$Z^j = \tilde{Z}^i\frac{\partial x^j}{\partial y^i}$

$W^j = \tilde{W}^i\frac{\partial x^j}{\partial y^i}$

(aquí vemos realmente Z como una pushforward de $\tilde{Z}$ por el inverso de mapa, etc)

Considere la posibilidad de $f^*[Z,W]$

$=((Z^i\frac{\partial}{\partial x^i}(W^j) - W^i\frac{\partial}{\partial x^i}(Z^j))\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial y^l}$

$=((\tilde{Z}^k\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\frac{\partial}{\partial x^i}(\tilde{W}^m\frac{\partial x^j}{\partial y^m}) - (\tilde{W}^k\frac{\partial x^i}{\partial y^k}\frac{\partial}{\partial x^i}(\tilde{Z}^m\frac{\partial x^j}{\partial y^m}))\frac{\partial y^l}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial y^l}$

La mezcla de término derivado es de la forma

$((\tilde{Z}^k(\tilde{W}^m\frac{\partial}{\partial y^k}\frac{\partial x^j}{\partial y^m})-(\tilde{W}^k(\tilde{Z}^m\frac{\partial}{\partial y^k}\frac{\partial x^j}{\partial y^m}))$ =0

y el resto de condiciones de dar

$=((\tilde{Z}^k\frac{\partial}{\partial y^k}(\tilde{W}^m) - (\tilde{W}^k\frac{\partial}{\partial y^k}(\tilde{Z}^m))\delta_{lm}\frac{\partial}{\partial y^l}$

que es $[f^*Z,f^*W]$. El truco es usar la regla de la cadena cuando quiera la derivación a ser compatible con la función que se lo está aplicando. Así que el centro de expresiones podrían no ser completamente sensato (sólo expresiones formales a ver los pasos) pero derivaciones. Por qué esto funciona sólo para diffeomorphisms es el componente de cambiar las reglas dadas anteriormente es básicamente el pushforward expresión en coordenadas y que la expresión permite el uso de la regla de la cadena en ciertas partes.