34 votos

Valores propios en matrices ortogonales

Dejemos que $A \in M_n(\Bbb R)$ .
¿Cómo puedo demostrar que

1) si $ \forall {b \in \Bbb R^n}, b^{t}Ab>0$ , entonces todos los valores propios $>0$ .
2) si $A$ es ortogonal, entonces todos los valores propios son iguales a $-1$ o $1$

1 votos

Para dos utilice el hecho de que puede diagonalizar matrices ortogonales y el determinante de las matrices ortogonales es 1

12 votos

El dos es falso. El determinante es $\pm 1$ , no los valores propios en general. Tomemos como ejemplo una matriz de rotación.

1 votos

1) no necesita ser cierto si $A$ no es simétrico. En ese caso, se podría construir una matriz real con valores propios complejos que satisfagan (1), pero obviamente con valores propios no reales (aunque sus partes reales podrían ser positivas).

37voto

mportiz08 Puntos 3302

Dejemos que $\lambda$ sea $A$ valor propio y $Ax=\lambda{x}$ .

(1) ${x}^{t}Ax=\lambda{x^tx}>0.$ Porque $x^tx>0$ entonces $\lambda>0$

(2) $|\lambda|^2x^tx=(Ax)^{t}Ax={x}^{t}A^{t}Ax=x^tx.$ Así que $|\lambda|=1$ . Entonces $\lambda=-1$ o $1$ .

Atención: $A$ en (2) puede tener un valor propio complejo con valor absoluto 1.

11 votos

Si $|\lambda|=1$ no se deduce que $\lambda=\pm 1$ . Sólo $\lambda=e^{i\phi}$ para un verdadero $\phi$ .

0 votos

Sí, tienes mucha razón.@TooOldForMath Debes considerar el valor propio real.

16voto

Diego Mijelshon Puntos 40314

La primera parte del problema está bien resuelta arriba, por lo que quiero hacer hincapié en la segunda parte, que se resolvió parcialmente.

Una transformación ortogonal es una rotación o una reflexión. Me centraré en la 3D, que tiene mucho uso práctico. Supongamos entonces que $A$ es una matriz ortonormal en $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3$ .

Encontramos que sus valores propios son $1, \text{e}^{\pm i \theta}$ para una rotación o $\pm 1$ para una reflexión.

  1. Para una rotación: Tenemos la siguiente secuencia de igualdades (ya que $\det A = 1$ )

    \begin{eqnarray*} \det(I -A) &=& \det(A) \det (I-A) \\ &=& \det(A^T) \det(I-A) \\ &=& \det(A^T - I) \\ &=& \det(A - I) \\ &=& -\det(I-A) \quad , \text{since 3 is odd}, \end{eqnarray*} Así que $\det(I-A)=0$ y $\lambda_1=1$ es un valor propio de $A$ .

    Ahora, dejemos que $u_1$ el vector propio unitario de $\lambda_1$ Así que $A u_1 = u_1$ . Demostramos que la matriz $A$ es una rotación de un ángulo $\theta$ alrededor de este eje $u_1$ . Formemos un nuevo sistema de coordenadas con el sistema de coordenadas $u_1, u_2, u_1 \times u_2$ , donde $u_2$ es un vector ortogonal a $u_1$ por lo que el nuevo sistema es diestro (tiene determinante = 1). La transformación entre el sistema antiguo $\{e_1, e_2, e_3\}$ y el nuevo sistema viene dado por una matriz $B$ con vectores columna vectores $u_1, u_2$ y $u_3$ . Así que tenemos que $B e_i = u_i$ . Dejemos que llamemos a la matriz de transformación de coordenadas (similitud) $C = B^{-1}AB$ . Entonces \begin{eqnarray*} C e_1 = B^{-1} A B e_1 = B^{-1} A u_1 = B^{-1} u_1 = e_1. \end{eqnarray*} El hecho de que $C e_1 = e_1$ significa dos cosas:

    • La primera columna de $C$ es $(1,0,0)^T$ .

    • El primer crudo de $C$ es $(1,0,0)$ .

    Entonces $C$ es una matriz del tipo \begin{eqnarray*} C = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & b \\ 0 & c & d \\ \end{array} \) |end{eqnarray*} Ya que $A$ es ortogonal $C$ es ortogonal y por tanto los vectores $(a,c)^T$ y $(b,d)^T$ son ortogonales y como \begin{eqnarray*} 1 = \theta A = \det C = ad - bc \end{eqnarray*} tenemos que la matriz menor con entradas $a,b,c,d$ es una rotación (ortogonal con determinat 1). Las rotaciones en 2D son de la forma \begin{eqnarray*} \left ( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \ right ) \ end{eqnarray*} entonces \begin{eqnarray*} B^{-1}A B = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{array} \) |end{eqnarray*} Pero como los valores propios de $B^{-1}AB$ son los mismos que los de $A$ encontramos los valores propios de esta matriz y los serían los valores propios de $A$ .

    Para los valores propios de esta matriz tenemos que

    \begin{eqnarray*} \det ( C - \lambda I)= 0 \implies (\cos \theta - \lambda)^2 + \sin^2 \theta = 0. \end{eqnarray*} Eso es,

    \begin{eqnarray*} 1 -2 \lambda \cos \theta + \lambda^2 = 0 \end{eqnarray*} Entonces

    \begin{eqnarray*} \lambda = \frac{2 \cos \theta \pm \sqrt{4 \cos^2 \theta - 4}}{2} = \cos \theta \pm i \sin \theta = \text{e}^{\pm i \theta}. \end{eqnarray*}

Este es el interesante resultado de Euler en el que afirmaba que todas las rotaciones del cuerpo rígido pueden ser escritas como una rotación alrededor de un vector (aquí $u_1$ por algún ángulo $\theta$ ).

  1. Valores propios de una reflexión. Si repetimos todos los pasos anteriores para un reflexión encontramos que ahora

    \begin{eqnarray*} B^{-1}A B = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ 0 & \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{array} \) \N - fin {eqnarray*}

    Ahora
    \begin{eqnarray*} \det ( C - \lambda I)= 0 \implies -(\cos 2 \theta - \lambda)(\cos 2 \theta + \lambda ) - \sin^2 2 \theta = 0. \end{eqnarray*} y luego

    \begin{eqnarray*} -\sin^2 2 \theta - \cos^2 2 \theta + \lambda^2 =0 \end{eqnarray*} y desde aquí

    \begin{eqnarray*} \lambda = \pm 1. \end{eqnarray*} .

Consulte la siguiente referencia que he utilizado para esta respuesta: Matrices ortogonales

0 votos

¿Puede explicar por qué $det(A^{T}-I) = det(A-I)$

2 votos

El enlace que ha proporcionado no funciona. ¿Puede indicar el nuevo enlace?

0 votos

@SachchidanandPrasad : Agradezco su comentario. He actualizado el enlace, fue cambiado.

8voto

Noldorin Puntos 67794

(1):

Dejemos que $Av=\lambda v$ con $v\not=0$ es decir $\lambda$ es un valor propio de $A$ . Entonces $$0<v^t Av=\lambda v^t v=\lambda \|v\|^2.$$

Desde $\|v\|^2>0$ obtenemos $\lambda>0$ .

(2):

Seguramente quiere decir que el determinante de $A$ es $\pm 1$ ya que la afirmación sobre los valores propios no es cierta, pues consideremos la matriz ortogonal

$$\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$$

Esto representa una rotación y por lo tanto tiene valores propios complejos.

Pero si $A$ es ortogonal, entonces $A^tA=AA^t=I$ Por lo tanto, aplicando el $\det$ a ambos lados y utilizando la ley de multiplicación de determinantes, obtenemos

$$(\det A)^2 = 1$$

Por lo tanto, $\det A=\pm 1$ .

0 votos

Esta solución tiene problemas. $|\lambda|=1$ es válida para los valores propios de toda matriz ortogonal Q.

6voto

Lyra Puntos 30

Ambas afirmaciones son falsas en su redacción actual. La siguiente matriz sirve de contraejemplo para ambas. $$R = \begin{pmatrix}\cos 1 & -\sin 1 \\ \sin 1 & \cos 1\end{pmatrix}$$

La primera afirmación debe ser modificada para que la matriz tenga todos los valores propios reales, de lo contrario es falsa como señala Pavel Algebraico en los comentarios. Expresemos un vector arbitrario distinto de cero $\mathbf{b}$ en forma polar $$\mathbf{b} = r\begin{pmatrix}\cos \phi \\ \sin\phi \end{pmatrix}$$ Entonces para la matriz anterior $R$ obtenemos $$\mathbf{b}^\mathrm{T}R\mathbf{b}= r^2\left( \cos(\phi + 1)\cos\phi + \sin(\phi+1)\sin\phi\right) = r^2\cos 1 > 0 $$ Sin embargo, los valores propios son ambos complejos. Si asumimos que todos los valores propios son reales, entonces los argumentos dados por TooOldForMath y gaoxinge funcionan bien.

La segunda afirmación debería decir que el determinante de una matriz ortogonal es $\pm 1$ y no los valores propios. $R$ es una matriz ortogonal, pero sus valores propios son $e^{\pm i}$ .

Los valores propios de una matriz ortogonal deben tener módulo uno. Si los valores propios resultan ser reales, entonces están obligados a ser $\pm 1$ . Por lo demás, son libres de situarse en cualquier lugar del círculo unitario.

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