¿Un campo tiene solamente un subcampo isomorfo a sí mismo?

Question

Que $E$ ser un campo y un subcampo de $F$ que es isomorfo a $E$ $E$. ¿Entonces es igual a $F$ $E$? Parece claro, pero no podía demostrarlo. ¿Podría explicar esta afirmación?

Answer 1

Contraejemplo: $E$ es el campo de funciones racionales en infinitamente muchas variables $x_1,x_2,\dots$, $F$ es el subcampo de funciones que dependen únicamente de $x_2,x_3,\dots$.

Answer 2

Contraejemplo

$\mathbb{R}$ De examinar y considerar los campos de funciones racionales $\mathbb{R}(x^2)$ y $\mathbb{R}(x)$. Son isomorfos pero $\mathbb{R}(x^2) \subset \mathbb{R}(x)$.

Answer 3

Aquí es una situación donde es igual a $E$ $F$: % Let $K$ser el primer subcampo de $F$ y asumir que tanto el % de extensiones $E/F$y $F/K$ son de grado finito. Si $E$ y $F$ son isomorfos como campos, también son isomorfos como espacios del vector encima $K$ y por lo tanto tienen la misma dimensión. Desde la dimensión ($=$ sobre $K$) de ambos espacios del vector es finita y sigue desde $F \subseteq E$, que $F=E$.