Factorización LU de una matriz no simétrica

Question

Quiero encontrar $L$ y $U$ para la siguiente matriz no simétrica $A$ :

$ A = \begin{bmatrix} a & r & r & r \\ a & b & s & s \\ a & b & c & t \\ a & b & c & d\\ \end{bmatrix} $

No estoy seguro de cómo me ayuda que la matriz no sea simétrica. ¿Tiene $A$ tiene que ser una matriz cuadrada que sea simétrica e invertible? ¿Debo calcular su determinante para que sea distinto de cero en primer lugar?

Como no conozco las respuestas a las preguntas anteriores, he calculado $U$ de todos modos:

$ U = \begin{bmatrix} a&r&r&r\\ 0&b-r&s-r&s-r\\ 0&0&c-s&b-s\\ 0&0&0&d-b \end{bmatrix} $

Pero no sé cómo proceder sobre $L$ .

También sabría cuáles son las cuatro condiciones para conseguir $A=LU$ con cuatro pivotes. Creo que los elementos diagonales de ambos $L$ y $U$ debe ser distinto de cero para obtener cuatro elementos de pivote, ¿verdad? Así que $a \neq 0, b \neq r, c \neq s, d \neq b$ ¿tengo razón?

Answer 1

Si $b\ne r$ , $c\ne s$ , en efecto, se obtiene el $LU$ descomposición $$ A=LU=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 & 0 \\ -a & 0 & 1 & 0 \\ -a & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} a&r&r&r\\ 0&b-r&s-r&s-r\\ 0&0&c-s&b-s\\ 0&0&0&d-b \end{bmatrix} $$ Las condiciones $a\ne0$ y $d\ne b$ son irrelevantes. Si $a=0$ y $b=d$ el rango es $2$ ; si $a=0$ y $d\ne b$ el rango es $3$ ; si $a\ne0$ y $d=b$ el rango es $3$ ; si $a\ne0$ y $d\ne b$ el rango es $4$ .

Sin embargo, el $LU$ La descomposición no siempre existe. Veamos el caso $b=s=r$ de modo que el primer paso de la eliminación produce $$ U = \begin{bmatrix} a&r&r&r\\ 0&0&0&0\\ 0&0&c-s&0\\ 0&0&0&d-b \end{bmatrix} $$ Si $c\ne s$ o $d\ne b$ no hay manera de escribir $A=LU$ con $L$ triangular inferior y $U$ triangular superior.

Answer 2

Para conseguir $A=LU$ , es necesario establecer las matrices de eliminación, $E_k$ . En otras palabras, las operaciones de fila que se realizan para obtener $U$ pueden escribirse como matrices. Por lo tanto, dependiendo de la cantidad que necesites, $U$ puede escribirse como $$E_nE_{n-1}...E_2E_1A=U$$ Para conseguir $L$ , calcule $(E_nE_{n-1}...E_2E_1)^{-1}$ Por la regla inversa, $$L=(E_nE_{n-1}...E_2E_1)^{-1}=E_1^{-1}E_2^{-1}...E_{n-1}^{-1}E_n^{-1}$$ En cuanto a sus condiciones, tiene razón.